Vue d’ensemble
La profondeur de saturation auto-calibrée \(n_1(q)\) de l’exploration en largeur de \(\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})\) — la variable asymptotique centrale de la calibration de fenêtre d’O25–O28 — est déterminée complètement par une réduction algébrique exacte.
Les fingerprints sont des caractères de Fourier. Chaque fingerprint de Weil à trois pas est un multiple scalaire non nul d’un unique caractère de Fourier, de sorte que le rang de Gram–Schmidt cumulé est exactement un cardinal de somme d’ensembles, \[ r_c(n)=\bigl|\,T'_c + C\,I_{n+1}\,\bigr|, \qquad T'_c=\{(c_2+c_3)\eta_2+c_3\eta_3 : \eta_i\in\{-1,0,1\}\}, \] avec \(C=c_1+c_2+c_3\) et \(I_m\) la réduction de \([-m,m]\). La nouveauté par couche obéit au plafond déterministe universel \(\Delta r_c(n)\le 2|T'_c|\le 18\), avec une classification complète des résonances de bloc qui l’abaissent.
Les sphères exactes décident du croisement. Les comptages exacts de sphères du groupe de Heisenberg discret infini donnent le croisement strict du seuil, \(s_{22}=16\,934 < 18/\varepsilon_{\mathrm{sat}} = 18\,000 < s_{23}=19\,412\) : la profondeur limite est \(n_*(10^{-3})=22\) et la constante de couverture limite est \(|B_{22}|=99\,689\).
Résultats principaux
- Théorème d’intervalle exact : le rang cumulé est le cardinal de somme d’ensembles \(r_c(n)=|T'_c+C\,I_{n+1}|\), pour tout premier \(q\), tout bloc avec \(C\ne 0\) et toute profondeur.
- Plafond universel et résonances : \(2\le\Delta r_c(n)\le 2|T'_c|\le 18\) avant saturation ; les résonances de bloc \(t'-t=C\,m\) s’activent à la profondeur \(\lceil (m-1)/2\rceil\) et expliquent les blocs lents observés dans le pipeline d’O25.
- Bornes déterministes : pour tout premier \(q\ge 311\), \(n_1(q)\le 22\) et \(5/q^2\le x_1(q)\le 99\,689/q^2\) — les scénarios de bord positif et logarithmique sont exclus sans aucun ingrédient probabiliste.
- Convergence en probabilité : sous échantillonnage uniforme de blocs génériques, \(n_1(q)\to 22\) et \(q^2 x_1(q)\to |B_{22}|=99\,689\).
- Régime transitoire : les profondeurs mesurées (\(14\) à \(q=211\), \(19\) à \(q=601\)) s’expliquent par les déficits de résonance ; leur ombre est l’exposant effectif observé \(\approx -0{,}76\), en route vers l’asymptote exacte \(-2\).
- Fermeture de fenêtre : la fenêtre d’ajustement auto-calibrée implémentée \([n_0,n_1]\) est déterministiquement vide pour \(q > 4\cdot 22^4 = 937\,024\).
Pourquoi la route du repliement de couverture échoue
Une route structurelle naturelle poserait le repliement d’échelle \(r_q(n)\approx q\,\Phi(|B_n|/q^2)\) et résoudrait l’équation de front \(\Phi'(x_1)=\varepsilon_{\mathrm{sat}}\,q\). Le théorème d’intervalle montre que ce repliement est dégénéré au voisinage du front de seuil : à couverture fixée le rang est \(O(\sqrt q)=o(q)\), donc \(\Phi\equiv 0\) sur ce régime. La loi de \(x_1\) est combinatoire — croissance d’intervalles contre comptages exacts de sphères — et non diffusive : le trou spectral \(\lambda_2\) n’entre jamais dans la dynamique du rang.
Relation au programme Cosmochrony
La note est compagne d’O28 au sein du sous-programme d’admissibilité spectrale : elle résout l’asymptotique de la profondeur de saturation qu’O28 avait établie sous-linéaire, et explique les valeurs transitoires mesurées. Elle dépend d’O9 (croissance de Heisenberg, \(D=4\)), d’O12 (la construction des blocs de Weil) et d’O25–O28 (les mesures de profondeur de saturation).
Dans la limite duale à fenêtre de la filtration de Fourier canonique (Q5a), le coefficient de potentiel \(\lambda=\lim x_1/C_{\mathrm{Heis}}\) s’annule : cette limite ne porte aucun potentiel d’oscillateur.
Référence
Jérôme Beau. Inverse-Square Critical Coverage and Constant Saturation Depth from an Exact Interval Theorem.