Campagne systématique paire-niveau pour \(\delta_{\mathrm{pair}}\) : convergence, concentration inter-paires et structure de normalisation

Vue d'ensemble

Cet article poursuit le programme d'admissibilité spectrale après O24. O24 avait établi la clôture structurelle de la chaîne \[ c_\chi \to \delta_{\mathrm{pair}} \to \beta^* \] du point de vue de la structure des fibres de la projection non injective \(\Pi\). Restait ouverte la question numérique : l'exposant \(\delta_{\mathrm{pair}}\) est-il stable sur toutes les paires conjuguées, et qu'est-ce qui contrôle sa variation résiduelle avec \(q\) ?

L'objectif central de O25 est : de montrer que \(\delta_{\mathrm{pair}}\) est un invariant structurel de la représentation de Weil, et que sa dérive apparente entre nombres premiers est due à la structure de normalisation de l'observable, non à une instabilité du mécanisme admissible.

L'observation clé est que l'extrapolation directe en \(q\) est trompeuse du point de vue structurel. La correction dominante à taille finie n'est pas contrôlée par \(q\) seul, mais par la profondeur de la fenêtre BFS \[ n_1(q), \] dont le rapport à \(q\) n'a pas encore stabilisé sur la plage testée. En conséquence, plusieurs lois asymptotiques empiriques ajustent très bien les mêmes données tout en prédisant des limites incompatibles.

O25 effectue donc une campagne complète paire-niveau, mesure la concentration inter-paires de \(\delta_{\mathrm{pair}}\), et identifie \[ n_1(q)/q \] comme variable asymptotique correcte.

Énoncé de portée. Cette page résume le contenu numérique et structurel de O25 : campagne systématique paire-niveau, convergence de \(\delta_{\mathrm{pair}}\), dégénérescence des extrapolations naïves, correction de normalisation issue de O14, et identification de \(n_1(q)/q\) comme direction ouverte centrale.

Contributions principales

Première campagne complète paire-niveau : O25 calcule \(\delta_{\mathrm{pair}}\) sur l'ensemble des \((q-1)/2\) paires conjuguées \((c,q-c)\) pour chaque nombre premier testé.
Concentration inter-paires : l'écart-type décroît de \(0.54\) à \(q=29\) à \(0.14\) à \(q=151\), montrant que \(\delta_{\mathrm{pair}}\) n'est pas une fluctuation de bloc mais un invariant structurel de la représentation.
Dégénérescence des extrapolations : des formes telles que \[ \delta_\infty+\frac{a}{\log q},\qquad \delta_\infty+\frac{a}{(\log q)^2},\qquad \delta_\infty+\frac{a}{q^\alpha} \] ajustent toutes bien les données accessibles tout en donnant des limites asymptotiques incompatibles.
Explication structurelle : la correction dominante se comporte comme \[ \frac{\log q}{\log n_1(q)} \approx 1, \] puisque \(n_1(q)=\Theta(q)\) au niveau du comportement d'échelle. L'obstruction à l'extrapolation est donc structurelle, non statistique.
Correction de normalisation : l'application de la correction O14 \[ \delta_{\mathrm{corr}}(q)= \delta_{\mathrm{pair}}(q)-\eta\frac{\log q}{\log n_1(q)} \] avec \(\eta=1/2\) replace les valeurs corrigées dans la fenêtre admissible \([7.4,10.6]\) pour tous les nombres premiers testés \(q \in \{61,101,151\}\).
Bonne variable asymptotique : O25 identifie \[ n_1(q)/q \] et non \(q\) lui-même comme la quantité qui contrôle la convergence.

Interprétation

O25 change le statut de la dérive numérique observée dans les étapes précédentes du programme.

Avant O25 : \(\delta_{\mathrm{pair}}\) semblait dériver avec \(q\)
Après O25 : cette dérive est expliquée comme un effet de normalisation à taille finie

Le point crucial est que l'observable mesuré dépend de la géométrie BFS via la fenêtre de fit \([n_0,n_1]\). Puisque le rapport \(n_1(q)/q\) n'a pas encore stabilisé sur la plage accessible, l'observable reste pré-asymptotique même lorsque les fits numériques semblent excellents.

Autrement dit, l'article déplace la question asymptotique :

d'une extrapolation directe en \(q\)
vers un contrôle analytique de la géométrie interne de la fenêtre
d'une variable de fit naïve
vers la variable structurellement correcte \(n_1(q)/q\)

Relation au programme Cosmochrony

O25 occupe le pendant numérique de O24 dans la série O. Après la construction fibre-niveau de l'observable (O16–O19), le cadre de persistance et de saturation intrinsèque (O20–O21), le verrouillage sur shell (O22), la dérivation du seuil (O23) et la stabilité du rang sous non-injectivité (O24), O25 montre que l'exposant mesuré se comporte exactement comme attendu une fois la structure de normalisation prise en compte.

La séquence s'écrit désormais : O16 (observable paire), O17 (dynamique de paire), O18 (structure minimale des fibres), O19 (normalisation canonique), O20 (critère de persistance), O21 (rang de saturation intrinsèque), O22 (verrouillage projectif), O23 (dimension seuil), O24 (stabilité du rang), O25 (campagne complète paire-niveau et structure de normalisation).

Après O25, le problème ouvert n'est plus de savoir si \(\delta_{\mathrm{pair}}\) est stable, mais comment le rapport asymptotique \(n_1(q)/q\) est déterminé analytiquement.

Résultat actuel et directions ouvertes

O25 établit que \(\delta_{\mathrm{pair}}\) est numériquement robuste et fortement concentré sur les paires conjuguées, et que l'extrapolation naïve en \(q\) n'est pas une manière pertinente d'inférer \(\delta_\infty\).

Restent ouvertes les directions suivantes :

Rapport asymptotique \(n_1(q)/q\) : déterminer si ce rapport se stabilise, et vers quelle constante \(\alpha\).
Corrections sous-dominantes : dériver la dépendance subleading de \(\bar{\delta}_{\mathrm{pair}}(q)\) une fois \(n_1(q)=\alpha q+O(q^\beta)\) connu.
Validation de \(\eta=1/2\) : tester dans la pipeline exacte de O25 l'hypothèse O14 utilisée dans la correction de normalisation.
Campagne grand-\(q\) : étendre le calcul systématique à \(q=211\) puis au-delà.
Complétion analytique : déterminer \(\delta_\infty\) à partir de la structure de \(\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})\), et non par extrapolation numérique directe.

Référence

Jérôme Beau. Campagne systématique paire-niveau pour \(\delta_{\mathrm{pair}}\) : convergence, concentration inter-paires et structure de normalisation.