Vue d’ensemble
Cet article poursuit le programme d’admissibilité spectrale après l’obstruction géométrique identifiée dans O8. Alors que O8 montrait que le fingerprint de chemins à trois étapes échappe à l’obstruction de dimension finie établie dans O6, il établissait aussi que la croissance exponentielle des couches sur les graphes LPS comprime toute la fenêtre de pré-saturation en seulement $O(\log q)$ étapes BFS.
O9 réalise l’étape suivante : il remplace les expanseurs LPS par une famille de graphes de Cayley à croissance polynomiale, en particulier le groupe de Heisenberg discret $\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$, et y transporte le fingerprint de O8 et le formalisme de capacité projective introduit en O7.
Le résultat est décisif. L’obstruction mise en évidence en O8 est purement géométrique. Sur les graphes de Heisenberg, une fenêtre en sommets $O(q^2)$ s’étend sur au moins $\Omega(q^{1/2})$ étapes BFS, et en pratique $\Theta(q)$ étapes, fournissant un nombre polynomial de points observables au lieu d’un nombre logarithmique.
Contributions principales
- Théorème de compression LPS : preuve qu’une fenêtre en sommets $O(q^2)$ sur les graphes LPS est parcourue en seulement $O(\log q)$ étapes BFS.
- Remplacement à croissance polynomiale : introduction des graphes de Cayley du groupe de Heisenberg comme cadre approprié pour l’extraction de l’exposant.
- Théorème de profondeur de fenêtre : une fenêtre $O(q^2)$ correspond à $\Omega(q^{1/2})$ étapes BFS, avec un diamètre effectif $\Theta(q)$.
- Séparation géométrie/dynamique : la géométrie contrôle l’observabilité, tandis que la dynamique projective reste universelle.
- Validation numérique : BFS exact confirmant un diamètre $\Theta(q)$, une convergence de $\hat{D}$ vers $4$, et des gains de fenêtre jusqu’à $5.4\times$.
Interprétation
O9 montre que l’échec observé en O8 n’était pas dû à un manque de complexité du fingerprint. Le fingerprint à trois étapes était déjà suffisant. Ce qui échouait, c’était la géométrie du graphe utilisé pour l’observer.
- O6 exclut les fingerprints de dimension finie.
- O8 révèle une obstruction géométrique (croissance exponentielle).
- O9 supprime cette obstruction via une géométrie polynomiale.
- Conclusion : le problème restant est l’extraction effective et la dérivation de l’exposant $\delta$.
Dans ce cadre, $\delta$ est une propriété de la dynamique projective elle-même, indépendante du graphe, dès lors que celui-ci n’entrave pas son observation.
Relation au programme Cosmochrony
O9 prolonge directement O8. Après l’admissibilité spectrale, la capacité, la rigidité et la stratigraphie, O1 restaure l’ordre, O3 amplifie la hiérarchie, O4 contraint l’exposant, O5 localise l’obstruction, O6 établit le no-go matriciel, O7 reformule en capacité, et O8 identifie l’obstruction géométrique.
O9 résout cette obstruction et prépare O10, dédié à l’extraction et à la dérivation de $\delta$.
Références
Jérôme Beau. Projective Capacity Beyond Expanders: Polynomial-Growth Relaxation Graphs and the Capacity Exponent. Preprint.