Vue d’ensemble
Après que O25 a identifié le ratio \(n_1(q)/q\) comme variable asymptotique clé et que O26 a introduit le test de dimension effective, l’étape suivante devient concrète : mesurer directement ces deux quantités à partir du pipeline spectral.
L’objectif central de O28 est : de calibrer asymptotiquement la fenêtre BFS et de calculer la dimension effective de la trajectoire admissible via l’opérateur de covariance.
L’article extrait \(n_1(q)\) à partir de fenêtres auto-calibrées et réalise le calcul de covariance dans l’espace de projection admissible \(H_{\mathrm{eff}}\). Une extension hors-échantillon (jusqu’à \(q=601\)) met en échec l’extrapolation linéaire calibrée (surprédiction jusqu’à \(+88\,\%\)). La loi exacte est le théorème d’intervalle de la note Couverture critique : \(n_1(q)\to 22\) en probabilité, avec couverture critique \(x_1(q)\asymp q^{-2}\) ; les valeurs hors-échantillon d’O28 sont les données du régime transitoire de cette loi.
Cela met en évidence une structure de rang 3 pleinement saturée et isole précisément l’obstacle au test représentationnel.
Contributions principales
- Calibration de la fenêtre BFS : extraction de \(n_1(q)\) ; la loi linéaire \(n_1(q) \approx \hat{\alpha} q + \hat{\beta}\) calibrée sur \(q\le 211\) échoue hors-échantillon (jusqu’à \(q=601\), surprédiction jusqu’à \(+88\,\%\)).
- Loi exacte (note Couverture critique) : \(n_1(q)\to 22\) en probabilité et \(x_1(q)=|B_{n_1}|/q^2\asymp q^{-2}\) ; les profondeurs mesurées d’O28 sont les données du régime transitoire de ce théorème.
- Calcul de dimension effective : opérateur de covariance évalué dans \(H_{\mathrm{eff}}\).
- Universalité du rang 3 : \(r_{\mathrm{eff}} = 3\) pour tous les premiers et toutes les paires conjuguées.
- Structure spectrale invariante : \([1 : 1/2 : 1/2]\) pour tous les jeux de données.
Interprétation
O28 clarifie la structure de la trajectoire admissible tout en révélant un écart.
- Observation : la trajectoire remplit un espace de dimension 3, \(H_{\mathrm{eff}}\)
- Attendu : la prédiction représentationnelle est \(r_{\mathrm{eff}} = d_\rho^2 = 4\)
Cet écart est structurel : le test est effectué dans \(H_{\mathrm{eff}}\), et non dans l’espace de représentation \(V_\rho\).
O28 n’invalide donc pas la structure SU(2), mais identifie l’étape manquante : l’inclusion \(V_\rho \subset H_{\mathrm{eff}}\).
Position dans le programme Cosmochronie
O28 suit O27 en passant de la rigidité représentationnelle à la structure mesurée.
La séquence devient : O16–O19 (construction des paires), O20–O23 (stabilité et minimalité quaternionique), O24 (stabilité du rang), O25 (campagne numérique), O26 (complétion quadratique), O27 (rigidité), O28 (calibration asymptotique et dimension effective).
Il constitue la dernière étape numérique avant l’identification représentationnelle.
Résultat actuel et étape suivante
- Établi : échelle asymptotique de \(n_1(q)\) et structure de covariance de rang 3 universelle.
- Écart identifié : \(H_{\mathrm{eff}} \neq V_\rho\).
- Étape suivante : restreindre l’opérateur de covariance à \(V_\rho\) et tester \(r_{\mathrm{eff}} = d_\rho^2\).
Référence
Jérôme Beau. Asymptotic Calibration of the BFS Window and Effective Dimension of the Admissible Trajectory.