Réduction de l'amplitude angulaire : le produit de cisaillement orienté du pas sl(2) et l'observable de phase centrale de la cascade de Weil

Aperçu

Cette note interne fixe l'observable numérique pour la normalisation absolue du splitting générationnel angulaire de Q14 §6, et rapporte les calculs Weil–BFS correspondants. Une courte réduction Baker–Campbell–Hausdorff dans $\mathfrak{sl}_2$ identifie la composante $J_\Pi$-impaire $J_3$ par pas du générateur de cascade métaplectique au produit orienté $ts$ des deux paramètres de cisaillement, produit par le commutateur $\mathfrak{sl}_2$ $[E,F]=H$ (Q14, Proposition 6.5), et non à un paramètre de cisaillement libre. Dans le modèle $\mathrm{SL}(2)$-sur-$V$ de Q14, le calcul n'utilise que les relations $\mathfrak{sl}_2$ et aucun crochet de Heisenberg ; dans la réalisation oscillatrice (de Weil), les générateurs $\mathfrak{sl}_2$ sont quadratiques en les générateurs de Heisenberg, et aucune application entre les deux crochets n'est fournie ici.

L'observable proposée pour la cascade Weil–BFS est l'incrément de phase centrale orienté accumulé $A_c$ du relèvement de Heisenberg, normalisé par la capacité projetée $\widehat{I}(n)$. Que $A_c$ porte le signal $J_3$ est une entrée de cette note, non une conséquence de la réduction : l'incrément $ts$ et le cocycle de Heisenberg ont la même forme, ce qui est une analogie et non une identification. Sous cette entrée, au rang de saturation intrinsèque $n_3^{\mathrm{obs}}$ l'incrément normalisé égale $\varepsilon_{\mathrm{Weil}}(n_3^{\mathrm{obs}})$, à comparer à la valeur du dictionnaire $\varepsilon = 1/10$ sans ajustement.

Énoncé de portée. Cette page fournit un résumé structuré. La référence technique faisant autorité est la prépublication liée ci-dessus.

Contributions principales

Réduction $\mathfrak{sl}_2$. La composante $J_\Pi$-impaire $J_3$ par pas du générateur de cascade métaplectique est le produit orienté $ts$ des deux paramètres de cisaillement, produit par le commutateur $\mathfrak{sl}_2$ $[E,F]=H$ (Q14, Proposition 6.5), non un paramètre de cisaillement libre ; le calcul dans le modèle $\mathrm{SL}(2)$-sur-$V$ n'utilise aucun crochet de Heisenberg.
L'observable. Incrément de phase centrale orienté accumulé $A_c$ du relèvement de Heisenberg, normalisé par la capacité projetée $\widehat{I}(n)$ ; au rang $n_3^{\mathrm{obs}}$ il égale $\varepsilon_{\mathrm{Weil}}(n_3^{\mathrm{obs}})$ et est à comparer au dictionnaire $\varepsilon = 1/10$ sans ajustement. Que $A_c$ porte le signal $J_3$ est une entrée de la note, sa ressemblance avec le produit de cisaillement étant une analogie et non une identification.
Factorisation par l'empreinte O12. Les deux secteurs sont les deux termes de l'exposant d'empreinte : la fréquence $B_c$ porte la capacité radiale $\sigma_c$, la phase centrale $A_c$ est, sous cette entrée, le porteur du splitting angulaire.
Résultat nul BFS symétrique. Une évaluation directe sur les couches BFS symétriques renvoie $\Theta_{\mathrm{raw}} = 0$ identiquement : les données de capacité symétrique fixent le secteur radial mais ne peuvent sélectionner une branche angulaire orientée. La prescription d'orientation est une entrée irréductible précédant $\mathcal{N}_A$.
Audit de capacité : le coefficient d'amorce. Un audit ultérieur sur la frontière Heisenberg–BFS exacte fixe le coefficient d'amorce de phase centrale : la moyenne de frontière sortante dirigée est une suite rationnelle exacte ($1/3, 5/9, 2/3, \dots$ par couche, indépendante de $q$ sur les six premières couches pour $q \in \{61,101,151,211,307\}$ seulement), dont la valeur de première couche (amorce) est $1/3$, d'où la borne de verrouillage maximal à la couche d'amorce $\theta_{\max}^{(1)} = 2\pi/(3q)$ (exacte pour la campagne de générateurs standard, dépendante des générateurs). La borne normalisée par $\widehat I$ à $n_3^{\mathrm{obs}} = 2$ vaut $2{,}114/q$, $2{,}122/q$, $2{,}118/q$ pour $q = 61, 101, 151$, soit $0{,}9$–$1{,}3\,\%$ au-dessus de la valeur d'amorce. Cela fixe le coefficient d'amorce, pas la valeur du dictionnaire : comme $\theta_{\max}^{(1)} \to 0$ avec $q$, la comparaison avec $\varepsilon = 1/10$ est un diagnostic de normalisation requise (la normalisation géométrique $\mathrm{Sym}^2$, $3q/(20\pi)$, est l'algèbre à la couche d'amorce), laissant $\varepsilon$ verrouillé par le même datum ADE ; dans l'hypothèse que $A_c$ porte le signal $J_3$, aucune valeur de $\mathcal{N}_A$ ne transforme $\Theta_{\mathrm{raw}} = 0$ en un splitting. Les rationnels par couche sont recalculées à partir du seul dépôt AAR.

Position dans le programme

Cette note appartient au sous-programme matière fermionique (Note de présentation 6). Avec la note PRS (forme de Schur côté opérateur du reste de compression, localisation conditionnelle de $u$) et la note Q11OF (diagnostic frontière), elle établit le cadre verrouillé dans lequel l'étape quantitative restante du secteur fermionique — la normalisation de cascade $\mathcal{N}_{\mathrm{casc}}$ — peut être menée.

Références

Jérôme Beau. Angular Amplitude Reduction: the Oriented Shear Product of the $\mathfrak{sl}(2)$ Step and the Central-Phase Observable of the Weil Cascade. Working paper, 2026. 10.5281/zenodo.20601228