Aperçu
Le sous-programme matière fermionique de Cosmochronie localise le splitting de masse à trois générations dans la partie $J_3$-impaire de l'endomorphisme projectif au carré $E_\Pi^2$ restreint au triplet de générations gauge-singulet $C^3_{\mathrm{gen}}$, paramétré par un seul nombre réel $u$ via $E_\Pi^2|_{C^3_{\mathrm{gen}}} = \mathrm{diag}(1, \tfrac{1}{2} + u, \tfrac{1}{2} - u)$. Le secteur pair $\mathrm{diag}(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})$ est la valeur algébrique de $(C_2 - J_3^2)/C_2$ en $C_2 = 2$ ; sa lecture comme secteur pair Born–Infeld exigerait une identification entre le modèle conditionnel $3 \times 3$ d'O30 sur $\mathrm{Sym}^2(V_\rho)$ et $(E_\Pi^2)_{\mathrm{even}}$, qui n'est pas disponible et n'est pas utilisée.
Cette note fixe le statut structurel de $u$ avant toute construction explicite de $E_\Pi$. Elle procède dans deux cadres. Pour l'opérateur de locking de référence $P = \Pi_S^{*}\Pi_S$, le reste de compression du carré de Dirac projeté a une forme de Schur, et sous l'hypothèse de lecture générationnelle [H-Gen] il donne $u = 0$. Pour un opérateur de locking général $0 \preceq P \preceq 1$, seules l'expression de Schur et son signe sont inconditionnels, et les conséquences pour un splitting non nul sont conditionnelles. Des conditions nécessaires sont localisées ; aucun mécanisme de splitting non nul n'est dérivé.
Résultats principaux
- Forme de Schur. Pour tout opérateur de locking $0 \preceq P \preceq 1$, $E_\Pi[P] = -\Pi_S\, D\,(1 - P)\,D\,\Pi_S^{*} = -N_P^{\dagger} N_P \preceq 0$ comme forme quadratique, avec $N_P = (1-P)^{1/2} D\,\Pi_S^{*}$. Pour $P_{\mathrm{ref}} = \Pi_S^{*}\Pi_S$, sous une hypothèse de contraction, c'est le reste de compression $D_\Pi^2 - \Pi_S D^2 \Pi_S^{*}$ du carré de Dirac projeté. Il est d'ordre zéro sous une condition de symbole, qui force $E_\Pi = 0$ sur les fibres de Clifford irréductibles.
- Relation avec l'endomorphisme projectif de Q14. Le reste de compression est l'endomorphisme $E_\Pi$ de Q14 seulement lorsque $\Pi_S D^2 \Pi_S^{*}$ est l'opérateur de Lichnerowicz, identité qu'aucune source n'énonce ; sinon rien n'est affirmé sur l'endomorphisme de Q14, dont le signe est une hypothèse explicite de Q14.
- Réduction en blocs chiraux. Dans le splitting chiral, $E_{LL} = -\Pi_S \mathcal{D}^{-}\pi_{RR}\mathcal{D}^{+}\Pi_S^{*}$ et $E_{RR} = -\Pi_S \mathcal{D}^{+}\pi_{LL}\mathcal{D}^{-}\Pi_S^{*}$ ; $\pi_{LL} = 0$ implique l'admissibilité à gauche $P_R E_\Pi P_R = 0$ (la réciproque vaut sous une hypothèse de fidélité), lorsque $E_\Pi$ est l'endomorphisme de Q14.
- Localisation conditionnelle de $u$. Sous [H-Gen] ($J_\Pi$ antiunitaire, compatible avec $D$ et $\Pi_S$ ; une application de lecture $\Phi$ réelle-linéaire, préservant $*$, $J_\Pi$-covariante, appliquée aux endomorphismes d'ordre zéro), $u$ est lu dans la partie $J_\Pi$-impaire de $\Phi(E_\Pi^2)$. Si $J_\Pi P J_\Pi^{-1} = P$ alors $u[P] = 0$, ce qui vaut pour l'opérateur de référence ; un $u$ non nul requiert $J_\Pi P J_\Pi^{-1} \neq P$. La lecture multiplicative de $\tfrac12 \pm u$ comme valeurs propres est une hypothèse distincte [H-Mult], qui, avec un secteur pair non singulier, donne $u \equiv 0$ ou n'admet aucune $\Phi$ dans le repère chiral de rang deux admissible à gauche ; rien d'autre dans la note ne l'utilise.
- Stratification interprétative. Dans une lecture interprétative des axiomes, un $u$ non nul ne peut provenir que de l'axiome A4. C'est une lecture, non une dérivation.
- Branche admissible à gauche de Q14. Sous le splitting chiral et [H-Gen](i), un opérateur de locking commutant avec $J_\Pi$ a $E_\Pi[P] = 0$ sur la branche admissible à gauche ; un résidu non nul admissible à gauche brise la compatibilité avec $J_\Pi$ et n'est pas le résidu de référence. Ce ne sont que des conditions nécessaires.
- La chiralité n'est pas une étiquette de fibre finie. Une arête de cascade est une translation de Heisenberg, non un élément symplectique, donc elle ne porte aucun relèvement métaplectique canonique ; $u$ ne peut être extrait d'une observable front finie.
- Secteur fini, conditionnel. Les données de locking finies sont invariantes sous la parité $c \leftrightarrow q - c$, dont l'identification avec $J_\Pi$ est ouverte ; sous cette identification, une construction équivariante de l'opérateur de locking fini et une lecture finie, $u_{\mathrm{fin}} = 0$.
- Lieux Schur-nul et Schur-transverse. L'inclinaison $J_\Pi$-impaire de premier ordre transportée de l'opérateur de locking définit les lieux Schur-nul et Schur-transverse ; une dichotomie est prouvée sous hypothèses explicites, et le lieu qui est réalisé reste ouvert.
- Ouverture $\mathfrak{sl}_2$ exacte. Le pas métaplectique orienté a l'ouverture exacte $\alpha(x,y) = xy\, r/\sinh r$, $\cosh r = 1 + \tfrac{xy}{2}$, produite par le commutateur $\mathfrak{sl}_2$ $[E,F] = H$ (Q14, Proposition 6.5) ; dans le modèle $\mathrm{SL}(2)$-sur-$V$ de Q14, le crochet de Heisenberg n'intervient pas. Que l'inclinaison transportée lui soit égale à un facteur non nul près est l'hypothèse de transport [H-Tr], fournie par aucune source.
La forme de Schur
Le carré projeté de Dirac $D^2_{\Pi,g,A} = \Pi_S D_{g,A} P D_{g,A} \Pi_S^{*}$ est la réduction de Feshbach du carré relevé le long du secteur éliminé $1 - P$. Soustraire le bloc $\Pi_S D_{g,A}^2 \Pi_S^{*}$ laisse le reste de compression $-\Pi_S D_{g,A}(1 - P)D_{g,A}\Pi_S^{*}$, le complément de Schur des directions éliminées. C'est l'endomorphisme projectif $E_\Pi$ de Q14 lorsque $\Pi_S D_{g,A}^2 \Pi_S^{*}$ est l'opérateur de Lichnerowicz ; cette identité force $\Pi_S \Pi_S^{*} = \mathrm{id}$ au niveau du symbole, sa réciproque n'est pas affirmée, et aucune source ne l'énonce.
Le défaut d'équivariance antiunitaire
Le relèvement spinoriel Born–Infeld $J_\Pi$ échange les sous-fibrés chiraux via $J_\Pi P_L = P_R J_\Pi$. Sous [H-Gen](i), l'équivariance de l'opérateur de locking $[P, J_\Pi] = 0$ impose sur les blocs chiraux diagonaux non pas l'égalité naïve mais l'équivalence transportée et complexe-conjuguée $\pi_{LL} = \tau\,\overline{\pi_{RR}}\,\tau^{-1}$. L'obstruction pertinente à $u = 0$ est donc le défaut antiunitaire $\Delta_\chi(P) = \pi_{LL} - \tau\,\overline{\pi_{RR}}\,\tau^{-1}$, réduit à $\pi_{LL} - \tau \pi_{RR} \tau^{-1}$ sur la structure réelle fixée par $J_\Pi^{(2)}$ sur le triplet des générations.
L'échec de l'équivariance $J_\Pi$ au locking de projection est une condition nécessaire mais non suffisante pour $u \neq 0$ : le commutateur peut être supporté en dehors du triplet des générations, ou dans des composantes qui ne survivent pas au transport Dirac ni à la projection finale sur $C^3_{\mathrm{gen}}$. Le défaut n'est relié à $u$ que comme lecture structurelle.
Secteur fini et module de Born–Infeld
Les données de locking finies sont invariantes sous la parité $c \leftrightarrow q - c$, dont l'identification avec $J_\Pi$ est ouverte. Sous cette identification, une construction équivariante de l'opérateur de locking fini et une lecture finie, le locking de projection fini n'engendre pas $u$. Un splitting non nul serait alors une donnée $J_\Pi$-impaire extérieure à cette construction, située dans la complétion lorentzienne à titre d'hypothèse.
En paramétrisant la déformation $J_\Pi$-impaire par $s$, la $J_\Pi$-symétrie de la fonctionnelle de saturation $\mathcal{B}$ de la note compagnonne A4 donne $\mathcal{B}(s) = \mathcal{B}(-s)$, donc $s = 0$ est stationnaire et le caractère local du locking est lu dans la courbure chirale $\mu_\chi^2 := \partial_s^2 \mathcal{B}(0)$ d'une 2-forme fournie. Le genre de cette 2-forme n'est pas déterminé, et le fait qu'un minimiseur brisant la symétrie porte $u \neq 0$ n'est pas démontré.
Statut et livrable ouvert
Prouvé ou structurel. La forme de Schur du reste de compression et son signe ; son caractère d'ordre zéro sous la condition de symbole ; les blocs chiraux diagonaux ; $u[P] = 0$ pour un $P$ commutant avec $J_\Pi$ sous [H-Gen] ; l'ouverture $\mathfrak{sl}_2$ exacte $\alpha(x,y) = xy\, r/\sinh r$ du pas orienté, produite par $[E,F] = H$ ; et les lieux Schur-nul et Schur-transverse avec une dichotomie prouvée sous hypothèses explicites.
Conditionnel. L'identification du reste de compression avec l'endomorphisme de Q14 (identité de symbole) ; la localisation de $u$ ([H-Gen]) ; la lecture multiplicative ([H-Mult]) ; le secteur fini ($u_{\mathrm{fin}} = 0$) ; la lecture interprétative selon laquelle seul A4 peut briser l'équivariance $J_\Pi$ ; le lieu Schur-transverse, qui vaut sous l'hypothèse de transport [H-Tr].
Ouvert. Le lieu qui est réalisé, l'hypothèse de transport [H-Tr], le bloc éliminé lorentzien explicite $1 - P(s)$, le signe du genre Born–Infeld, la non-annulation de $u$ (aucun mécanisme de splitting non nul n'est dérivé), sa grandeur $|u|$ (liée au dictionnaire par la normalisation de la frontière chirale), et le secteur de Yukawa projeté avec ses matrices de masse.
Relation avec le programme Cosmochronie
Cette note appartient au sous-programme matière fermionique (Note de présentation 6). Elle raffine le livrable ouvert de Q14 sur le splitting inter-générationnel en localisant $u$, conditionnellement, dans le défaut d'équivariance chirale antiunitaire et en définissant les lieux Schur-nul et Schur-transverse de la direction A4, et identifie les observables front des notes compagnonnes oriented-frontier et angular-amplitude comme contrôles nuls plutôt que porteurs de $u$.
Références
Jérôme Beau. The Projective Residue as a Schur Complement: Reduction of the Generation Split to the Chiral Asymmetry of Projection Locking. Working paper, 2026. 10.5281/zenodo.20601040