Aperçu
Le sous-programme matière fermionique de Cosmochronie localise le splitting de masse à trois générations dans la partie $J_3$-impaire de l'endomorphisme projectif au carré $E_\Pi^2$ restreint au triplet de générations gauge-singulet $C^3_{\mathrm{gen}}$, paramétré par un seul nombre réel $u$ via $E_\Pi^2|_{C^3_{\mathrm{gen}}} = \mathrm{diag}(1, \tfrac{1}{2} + u, \tfrac{1}{2} - u)$. Le secteur pair $\mathrm{diag}(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})$ est la valeur algébrique de $(C_2 - J_3^2)/C_2$ en $C_2 = 2$ ; sa lecture comme secteur pair Born–Infeld exigerait une identification entre le modèle conditionnel $3 \times 3$ d'O30 sur $\mathrm{Sym}^2(V_\rho)$ et $(E_\Pi^2)_{\mathrm{even}}$, qui n'est pas disponible et n'est pas utilisée.
Cette note fixe le statut structurel de $u$ avant toute construction explicite de $E_\Pi$. Trois résultats précis sont obtenus : une forme universelle Feshbach/Schur pour $E_\Pi$, une réduction en blocs chiraux qui localise $u$ dans un défaut d'équivariance antiunitaire, et un théorème de séparation fini/lorentzien isolant $u$ comme donnée lorentzienne.
Résultats principaux
- Forme de Schur du résidu projectif. Sous compatibilité de symbole, $E_\Pi = -\Pi_S \, D_{g,A}\,(1 - P)\,D_{g,A}\,\Pi_S^{*} = -M^{\dagger} M$ avec $P = \Pi_S^{*}\Pi_S$. Ainsi $E_\Pi$ est semi-défini négatif, d'ordre zéro, et s'annule dans la limite injective $P = 1$.
- Réduction en blocs chiraux. Décomposer $D_{g,A}$ et $1 - P$ dans le splitting chiral $\mathcal{S}_\Pi = \mathcal{S}_L \oplus \mathcal{S}_R$ donne les blocs diagonaux $E_{LL} = -\Pi_S \mathcal{D}^{-}\pi_{RR}\mathcal{D}^{+}\Pi_S^{*}$ et $E_{RR} = -\Pi_S \mathcal{D}^{+}\pi_{LL}\mathcal{D}^{-}\Pi_S^{*}$. L'admissibilité à gauche $P_R E_\Pi P_R = 0$ de Q14 est équivalente à $\pi_{LL} = 0$.
- Localisation de $u$. Le splitting $u$ est contrôlé par la composante $\mathcal{D}^{\pm}$-transportée et projetée sur les générations du défaut d'équivariance chirale antiunitaire $\Delta_\chi(P) = \pi_{LL} - \tau\,\overline{\pi_{RR}}\,\tau^{-1}$, non par une différence naïve de blocs.
- Stratification axiomatique. La non-injectivité minimale $c \leftrightarrow q - c$ est chiralement symétrique, donc $u = 0$ au niveau des axiomes A1–A3. Un $u$ non nul requiert une brisure de symétrie chirale qui ne peut prendre origine que dans l'axiome de locking de projection A4.
- Verrouillage des conventions Seeley–DeWitt. Sur le gauge-singlet $C^3_{\mathrm{gen}}$ et la métrique effective plate, la définition opérateur de $u$ égale le coefficient spectral entrant dans l'amplitude effective ; le facteur de normalisation commun $a_4$ s'annule dans le rapport $(\tfrac12 + u)/(\tfrac12 - u)$.
- Pas de label chiral fini. La chiralité $\gamma_5$ existe à cause de la clôture lorentzienne $g^{\mu\nu} = 2\eta^{\mu\nu}$. Une arête de cascade est une translation de Heisenberg, non un élément symplectique, donc elle ne porte aucun relèvement métaplectique canonique ; $u$ ne peut être extrait d'aucune observable front finie.
- Séparation fini/lorentzien. Le locking de projection fini est $J_\Pi$-équivariant pour $q$ premier impair, donc $u_{\mathrm{fin}} = 0$. Un splitting générationnel non nul ne peut surgir que dans la complétion lorentzienne de la saturation Born–Infeld.
La forme de complément de Schur
Le carré projeté de Dirac $D^2_{\Pi,g,A} = \Pi_S D_{g,A} P D_{g,A} \Pi_S^{*}$ est la réduction de Feshbach du carré relevé le long du secteur éliminé $1 - P$. Soustraire le bloc de Lichnerowicz reproduit par $\Pi_S D_{g,A}^2 \Pi_S^{*}$ laisse $E_\Pi = -\Pi_S D_{g,A}(1 - P)D_{g,A}\Pi_S^{*}$, le complément de Schur des directions éliminées. Ceci rend précis l'énoncé de Q14 selon lequel $E_\Pi$ n'est pas une donnée Dirac finie postulée mais est induit par la projection non injective elle-même.
Le défaut d'équivariance antiunitaire
Le relèvement spinoriel Born–Infeld $J_\Pi$ échange les sous-fibrés chiraux via $J_\Pi P_L = P_R J_\Pi$. L'équivariance du projecteur de locking $[P, J_\Pi] = 0$ impose sur les blocs chiraux diagonaux non pas l'égalité naïve mais l'équivalence transportée et complexe-conjuguée $\pi_{LL} = \tau\,\overline{\pi_{RR}}\,\tau^{-1}$. L'obstruction pertinente à $u = 0$ est donc le défaut antiunitaire $\Delta_\chi(P) = \pi_{LL} - \tau\,\overline{\pi_{RR}}\,\tau^{-1}$, réduit à $\pi_{LL} - \tau \pi_{RR} \tau^{-1}$ sur la structure réelle fixée par $J_\Pi^{(2)}$ sur le triplet des générations.
L'échec de l'équivariance $J_\Pi$ au locking de projection est une condition nécessaire mais non suffisante pour $u \neq 0$ : le commutateur peut être supporté en dehors du triplet des générations, ou dans des composantes qui ne survivent pas au transport Dirac ni à la projection finale sur $C^3_{\mathrm{gen}}$.
Séparation fini/lorentzien
Les deux constituants de l'axiome A4 sont $J_\Pi$-invariants à $q$ fini : la condition de saturation Born–Infeld continue est la parité elle-même, et le support de couche discret est une union d'orbites de la parité sans point fixe $c = 0$ pour $q$ premier impair. La branche locked finie est donc $J_\Pi$-équivariante et $u_{\mathrm{fin}} = 0$.
En paramétrisant la déformation $J_\Pi$-impaire par $s$ (ouverte seulement par la complexification lorentzienne), la symétrie $J_\Pi$ de la fonctionnelle de saturation lorentzienne $\mathcal{B}$ donne $\mathcal{B}(s) = \mathcal{B}(-s)$, donc $s = 0$ est automatiquement stationnaire. Le caractère du locking est alors fixé par la courbure chirale $\mu_\chi^2 := \partial_s^2 \mathcal{B}(0)$ : positive stabilise la branche $J_\Pi$-équivariante ($u = 0$) ; négative entraîne une paire saturée $J_\Pi$-conjuguée $\pm s_*$ et $u \neq 0$. Le cas marginal $\mu_\chi^2 = 0$ est décidé par le premier coefficient pair non nul de $\mathcal{B}(s)$.
Statut et livrable ouvert
Établi. La forme de Schur de $E_\Pi$, la réduction en blocs chiraux, la stratification sur les axiomes Cosmochronie, le verrouillage des conventions Seeley–DeWitt, le résultat no-go d'accès fini à la chiralité, la séparation fini/lorentzien, et la transversalité de Schur du défaut de locking A4 dans le stratum de spin lorentzien présent : le commutateur A4 projeté a la forme fermée $\alpha(t, s) = ts\,(r/\sinh r) \not\equiv 0$, qui exclut la branche exactement nulle, et sous compatibilité de symbole et identification temporelle $Z = [X, Y] \simeq \partial_\tau$ la branche du mode nul transporté est exclue aussi, de sorte que la dichotomie exhaustive transverse/nulle sélectionne le cas Schur-transverse.
Ouvert. La transversalité de Schur étant prouvée, le genre Born–Infeld de la note compagnonne A4 sélectionne la branche électrique, $\mu_\chi^2 < 0$, et le splitting générationnel s'ouvre spontanément, $u \neq 0$. Ce qui reste ouvert n'est pas l'existence du splitting mais le bloc éliminé lorentzien explicite $1 - P(s)$ entrant dans le complément de Schur, la normalisation absolue $|u|$ (réduite par la note compagnonne du jet contraint à la normalisation admissible de $\partial_s \Delta_\chi(P)|_0$, $|u|$ restant lié au dictionnaire), et le secteur de Yukawa projeté avec ses matrices de masse.
Relation avec le programme Cosmochronie
Cette note appartient au sous-programme matière fermionique (Note de présentation 6). Elle raffine le livrable ouvert de Q14 sur le splitting inter-générationnel en localisant $u$ dans le défaut d'équivariance chirale antiunitaire et en prouvant la transversalité de Schur de la direction A4, et identifie les observables front des notes compagnonnes oriented-frontier et angular-amplitude comme contrôles nuls plutôt que porteurs de $u$.
Références
Jérôme Beau. The Projective Residue as a Schur Complement: Reduction of the Generation Split to the Chiral Asymmetry of Projection Locking. Working paper, 2026. 10.5281/zenodo.20601040