Le sous-programme d’émergence géométrique

Vue d’ensemble

Le sous-programme d’émergence géométrique répond à une unique question centrale. Le filtre d’admissibilité $\Pi_q$ agit sur la représentation de Weil $V_\rho \simeq L^2(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$ de $\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$, sélectionnant les modes admissibles sous la contrainte de flux borné de Born–Infeld : quelle géométrie effective est sélectionnée dans la limite des grands $q$, et qu’est-ce qui en détermine les coefficients métriques ?

Le sous-programme lève le postulat d’un espace-temps de fond : la métrique lorentzienne effective est une conséquence forcée de l’admissibilité, non une donnée d’entrée. Il se situe à l’interface entre la branche fondationnelle (la représentation de Weil et la contrainte de Born–Infeld) et la branche physique (gravité, jauge, fermions), qui dépendent toutes d’un espace-temps effectif dérivé. Cette note ne concerne que la reconstruction de la métrique — sa dynamique, les équations d’Einstein, relève du sous-programme de gravité spectrale.

Les quatre coefficients métriques valent 2. Les composantes spatiale, verticale, horizontale et temporelle sont régies par une unique donnée de théorie des représentations : la valeur propre du Casimir de $\mathfrak{su}(2)$ sur le module de spin 1 $\mathrm{Sym}^2(V_\rho)$. Le facteur conforme n’est pas un choix d’unités ; une fois absorbé, la métrique effective est exactement minkowskienne.

La chaîne structurelle

$\Pi_q \;\Longrightarrow\; V_\rho \simeq L^2(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}) \;\Longrightarrow\; \mathrm{Heis}_3(\mathbb{R}) \;\Longrightarrow\; L_{\mathrm{eff}} \;\Longrightarrow\; g^{\mu\nu} \;\Longrightarrow\; g^{\mu\nu} = 2\eta^{\mu\nu}.$

Cinq étapes conceptuellement distinctes, chacune résolue par un groupe d’articles : la limite de Mosco discret-vers-continu jusqu’à l’ombre unidimensionnelle $L_\Pi = -A\partial_x^2$ (Q5a, Q5a-O2, H2) ; la promotion dimensionnelle via la géométrie de Carnot et la dimension homogène de Bass–Guivarc'h $D_{\mathrm{hom}} = 4$ (Q5b) ; l’extraction de la métrique et la signature lorentzienne $(-,+,+,+)$ depuis le symbole principal de $L_{\mathrm{eff}}$ (Q5b, rendu inconditionnel par Q9) ; la détermination des coefficients $A_Z = A_H = 2$ par rigidité de Casimir et universalité spectrale (Q7, Q8, Q10, U1) ; et la clôture $A_\tau = 2 \Rightarrow g^{\mu\nu} = 2\eta^{\mu\nu}$ (Q11, W1).

Articles du sous-programme

Limite discret-vers-continu.

Q5a — convergence de Mosco des formes de Dirichlet d’admissibilité vers l’ombre unidimensionnelle $L_\Pi = -A\partial_x^2$ sur $L^2(\mathbb{R})$.
Q5a-O2 — l’atomicité spectrale du secteur admissible clôt les hypothèses ouvertes [H-E1] et la conjecture [C].
H2 — convergence forte des générateurs de Weil redimensionnés ([H2]) via un lemme d’aliasing de Poisson et une identité de Sobolev discrète.

Promotion dimensionnelle, extraction de la métrique et signature.

Q5b — convergence de Carnot des couches BFS, dimension homogène $D_{\mathrm{hom}} = 4$, extraction $g^{\mu\nu} \propto A_{\mu\nu}$ et signature lorentzienne $(-,+,+,+)$.
Q9 — prouve [H-lift] comme théorème, rendant l’extraction de la métrique de Q5b inconditionnelle.

Détermination des coefficients ($A = 2$).

Q7 — identifie $H_{\mathrm{eff}} = \mathrm{Sym}^2(V_\rho)$ comme l’unique module irréductible 3D de $\mathfrak{su}(2)$ ; rigidité du pont et absence de termes croisés.
Q8 — $A_Z = C_{\mathfrak{su}(2)} = 2$ (direction verticale) par rigidité de Casimir, sans normalisation libre.
Q10 — $A_H \to 2$ sous l’universalité spectrale [U] ; isotropie $\mathfrak{su}(2)$ de la forme effective.
U1 — prouve l’universalité spectrale [U] au taux $\varepsilon(q) = O(q^{-1/2})$.

Clôture métrique et sortie intégrative.

Q11 — $A_\tau = 2$ par rigidité de Casimir temporelle, donnant $g^{\mu\nu} = 2\eta^{\mu\nu}$.
W1 — clôt [H-w] (convergence des poids d’admissibilité) comme conséquence de l’invariance fibre par fibre.
Q6b — sortie intégrative : assemble $\Pi_q \to L_{\mathrm{eff}} \to g^{\mu\nu} \to G_{\mu\nu}$ ; extérieur de Schwarzschild et équations d’Einstein comme conditions de cohérence.

Entrées et sorties

Entrées amont. La représentation de Weil $V_\rho \simeq L^2(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$ comme théorème de la branche fondationnelle ; la contrainte de flux borné de Born–Infeld $A_n \le c_\chi/\sqrt{\lambda_n}$ ; et, depuis le sous-programme d’admissibilité spectrale (note de présentation 1), le secteur de spin $\tfrac12$ $V_\rho \cong \mathbb{C}^2$ avec $\Sigma_c(n_3) = 3$ et $\mathrm{Im}\,\mathbb{H} \cong \mathfrak{su}(2)$.

Sorties. La métrique lorentzienne effective $g^{\mu\nu} = 2\eta^{\mu\nu}$ et la signature $(-,+,+,+)$ ; l’opérateur effectif $L_{\mathrm{eff}}$ sur $\mathbb{R}_\tau \times \mathrm{Heis}_3(\mathbb{R})$ ; les trois directions spatiales comme image de $\mathrm{Im}\,\mathbb{H}$ ; et l’extérieur de Schwarzschild et les équations d’Einstein (via Q6b) — consommés par les articles de gravité, de jauge et fermioniques de la branche III.

Statut

La reconstruction de la métrique est close à la limite $q \to \infty$ : la signature est forcée par élimination, et les quatre coefficients valent la valeur du Casimir de $\mathfrak{su}(2)$, 2. Deux points restent ouverts : l’existence d’un pont équivariant explicite à $q$ fini $\phi_q: \mathrm{Sym}^2(V_\rho) \xrightarrow{\sim} W_{\mathrm{sp}}$ (aucun résultat publié n’en dépend), et l’hypothèse [H1] sur tout l’espace $L^2$ (close sur le secteur admissible par Q5a-O2). Cette note ne traite pas la dynamique de $g^{\mu\nu}$ — les équations d’Einstein relèvent du sous-programme de gravité spectrale.