Vue d'ensemble
L'hypothèse [U] demande une borne relative, uniforme en caractère, pour les énergies d'empreinte de Weil sur les graphes de Heisenberg. La version 1 de U1 prétendait la démontrer avec un taux $O(q^{-1/2})$. La version 2.0 retire cette preuve et ce taux ; [U] demeure ouverte.
U1 démontre à la place une obstruction exacte pour les représentations finies de Heisenberg–Schrödinger : les générateurs de multiplication associés à deux caractères centraux distincts sont à la distance opératorielle $2\cos(\pi/2q)$, qui tend vers $2$. Cela concerne les générateurs individuels. Un exemple distinct, sur des caractères voisins, montre que leur somme ne possède pas non plus le module uniforme invoqué par l'ancien argument.
Contributions principales
- Générateurs individuels : pour $c,c'$ distincts et $q$ premier, $\|\rho_{q,c}(X)-\rho_{q,c'}(X)\|=2\cos(\pi/2q)$, indépendamment de la paire.
- Somme des opérateurs : une annulation survient pour $c'=-c$. Séparément, pour $c=1,c'=2$, sa distance vaut au moins $2\cos(\pi/q)+2\cos(2\pi/q)\to4$ alors que $|c-c'|/q\to0$.
- Observable distincte : O25 mesure un incrément de rang de Gram–Schmidt sur des blocs échantillonnés à trois composantes, sans identification à une norme d'opérateur comprimé.
- Taux non fourni : la convergence citée de Q5b est qualitative ; elle ne fournit ni taux de Gromov–Hausdorff $O(q^{-1/2})$, ni transfert vers le décompte de O25.
Conséquences pour l'émergence géométrique
U1 retire sa prétention à clore Q10 et le pont Q7. La version 2.0.1 de Q10 garde [U] comme entrée ouverte explicite, montre dans sa proposition 3.2 que les entrées citées en faveur de [U] ne l'impliquent pas, et ne dérive aucune valeur de coefficient. La version 2.0.1 de W1 retire la prétention à stabiliser les poids qui importait le taux quantitatif retiré par U1. Les autres papiers qui utilisent ce taux doivent être examinés à leur propre étape.
Position dans le programme
Le résultat distingue un énoncé prouvé sur les générateurs de Heisenberg finis de l'uniformité encore ouverte des énergies d'empreinte de Weil. L'action de Weil associée est distincte de la représentation de Heisenberg par multiplication et translation utilisée dans l'obstruction. Le registre consigne cette distinction et laisse en attente les identifications de coefficients et de métrique en aval.
Référence
Jérôme Beau. Uniformity Requirements for Weil Fingerprint Energies: Obstructions to the Lipschitz Route to [U], version 2.0, 2026. doi:10.5281/zenodo.19881146