Vue d'ensemble
Le théorème de convergence de Mosco de Q5a établit que les représentations de Weil $\rho_c^{(q)}$ sur le groupe de Heisenberg fini $\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$ convergent vers la représentation de Schrödinger standard du groupe de Heisenberg continu lorsque $q \to \infty$, au sens de Mosco sur $L^2(\mathbb{R})$.
H2 clôt la dernière hypothèse ouverte de ce théorème. L'hypothèse [H2] affirme la convergence en opérateur fort des générateurs de Weil redimensionnés : les opérateurs de position et d'impulsion discrets $\hat{X}_q$ et $\hat{P}_q$ convergent vers leurs homologues continus $x$ et $-i\partial_x$ en topologie d'opérateur forte sur $L^2(\mathbb{R})$.
La preuve combine deux ingrédients principaux : un lemme d'aliasing de Poisson quantitatif contrôlant l'erreur $L^2$ introduite par l'aliasing périodique dans le plongement de Fourier discret, et une identité de Sobolev discrète qui relie l'action de $\hat{P}_q$ à une dérivée aux différences finies dont la limite forte est $-i\partial_x$.
Contributions principales
- Preuve de [H2] : convergence en opérateur fort $\hat{X}_q \to x$ et $\hat{P}_q \to -i\partial_x$ en topologie d'opérateur forte sur $L^2(\mathbb{R})$, inconditionnellement sur le secteur admissible.
- Lemme d'aliasing de Poisson quantitatif : borne d'erreur $L^2$ explicite pour l'aliasing périodique introduit par le plongement de fonctions discrètes dans $L^2(\mathbb{R})$ via interpolation sinc. L'erreur est contrôlée uniformément dans la limite $q \to \infty$.
- Identité de Sobolev discrète : identité algébrique reliant l'action de l'opérateur d'impulsion discret $\hat{P}_q$ à une dérivée aux différences finies, permettant d'identifier la limite forte comme $-i\partial_x$.
- Plongement sinc quantitatif : contrôle précis du plongement par interpolation sinc $\ell^2(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}) \hookrightarrow L^2(\mathbb{R})$ avec des taux de convergence explicites.
- Complétion de Q5a : H2 clôt la dernière hypothèse ouverte du théorème de convergence de Mosco de Q5a, établissant que la convergence discret-vers-continu de la représentation de Weil est entièrement prouvée.
Le programme de convergence de Mosco de Q5a
Le théorème de convergence de Mosco de Q5a est le résultat central connectant la représentation de Weil discrète sur le groupe de Heisenberg fini à la représentation de Schrödinger continue. Il assure que, quand le premier $q \to \infty$, la mécanique quantique discrète sur $\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$ converge vers la mécanique quantique standard sur $L^2(\mathbb{R})$.
Cette convergence est le fondement mathématique de la claim que la mécanique quantique n'est pas postulée dans le cadre Cosmochronie mais émerge comme la limite à grande échelle de la projection admissible sur le substrat de Heisenberg.
L'hypothèse [H2] était la dernière condition ouverte restante. La preuve fournie dans H2 utilise le plongement par interpolation sinc — qui associe des fonctions discrètes finies à des fonctions à bande limitée dans $L^2(\mathbb{R})$ — et montre que sous ce plongement, les générateurs discrets convergent fortement vers leurs homologues continus.
Le lemme d'aliasing de Poisson est l'outil technique clé : il fournit un contrôle quantitatif de l'erreur d'aliasing qui apparaît quand un signal discret périodique est plongé dans le $L^2(\mathbb{R})$ non périodique. L'identité de Sobolev discrète traduit ensuite la convergence forte du quotient différentiel en convergence forte de la dérivée.
Relation avec le programme Cosmochronie
H2 complète le programme de cohérence semiclassique pour la représentation de Weil. Le théorème Q5a, désormais entièrement prouvé, est l'un des résultats structurels centraux du cadre Cosmochronie : il établit que le substrat de Heisenberg fini donne naissance à la mécanique quantique continue dans la limite admissible à grande échelle.
L'article W1 a fourni le cadre analytique (représentation de Weil sur le groupe de Heisenberg infini) utilisé comme cible de la convergence. Q5a a formulé le théorème de convergence de Mosco et vérifié toutes les hypothèses sauf [H2]. H2 clôt le programme.
Le résultat renforce la claim fondatrice du programme : l'algèbre de Heisenberg $[\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar$ n'est pas postulée mais émerge des contraintes d'admissibilité sur le substrat discret, comme la limite à grand $q$ des générateurs structurels $\hat{X}_q$ et $\hat{P}_q$.
Références
Jérôme Beau. Semiclassical Consistency of the Weil Representation on Heis₃(Z/qZ): Quantitative Sinc Embedding, Generator Convergence, and Aliasing Control. Preprint. doi:10.5281/zenodo.19962051