Vue d'ensemble
Une géométrie spatiale isotrope reconstruite à partir de la fibre admissible exigerait que le coefficient horizontal $A_H$ et le coefficient central $A_Z$ d'une forme spatiale positive de dimension trois coïncident, et exigerait leur valeur commune. Q10 isole ce que l'uniformité de l'observable d'empreinte de la série O à travers les caractères peut apporter à cette question.
L'observable est un incrément de rang de Gram–Schmidt par couche du parcours en largeur. L'hypothèse [U] demande que, sur une famille de blocs et une fenêtre de profondeur spécifiées, il reste à une distance relative $\varepsilon$ d'un profil positif commun. [U] est ouverte.
Résultats principaux
- Stabilité des rapports : si des données $x_{i,n}$ vérifient $|x_{i,n} - s(n)| \le \varepsilon\,s(n)$ avec $s > 0$ et $\varepsilon < 1$, deux moyennes prises avec une même pondération en profondeur ont un rapport à au plus $2\varepsilon/(1-\varepsilon)$ de un. La borne est optimale, et la pondération commune en profondeur est indispensable.
- Isotropie conditionnelle : sous [U], une affectation des blocs aux poids de spin [W], une loi de réponse linéaire identifiant le rapport des coefficients à un rapport de moyennes d'empreinte [R], et une cible positive de rang trois fournie [T], $A_H/A_Z$ obéit à la même borne. Une valeur absolue exige une échelle indépendante [S].
- L'invariance ne fixe aucun coefficient : les formes hermitiennes invariantes sur le module de spin un forment un rayon ; la valeur propre de Casimir $2$ distingue une normalisation, pas un coefficient.
- Parité exacte, avec ses conditions : la parité par conjugaison de l'observable vaut pour des données d'empreinte conjuguées l'une de l'autre et normalisées de la même façon. La campagne O25 tire ses blocs appariés indépendamment et ne les choisit pas pour remplir cette condition.
- Pas d'implication : une parité exacte et des exposants de paire identiques sont compatibles avec l'échec de [U] pour tout $\varepsilon < 1/3$ ; un secteur neutre de dimension trois et la stabilité du rang ne contraignent aucune des amplitudes que [U] borne.
- Nombres : les entrées de compression disponibles, $2 + 4\sin^2(\pi k/q)$, sont des identités de quotients de Rayleigh du laplacien de Weil discret, pas des coefficients métriques.
Position dans le programme
Q10 sépare deux questions. L'isotropie relative pourrait être héritée de l'uniformité de la fibre admissible à travers les caractères, si les coefficients géométriques répondent linéairement aux données d'empreinte. L'échelle absolue est d'une autre nature : la théorie des représentations la laisse libre, et Q8 montre que l'isotropie entre directions horizontales et centrale sélectionne une échelle de longueur. Ni la loi de réponse ni l'opérateur spatial étendu qu'elle présuppose ne sont encore construits. Q5b enregistre [H-lift] et les valeurs des coefficients comme ouverts ; la version 2.0 de Q11 montre que l'invariance $\mathrm{SU}(2)$ spatiale laisse libre, elle aussi, le coefficient temporel.
Référence
Jérôme Beau. Toward Coefficient Isotropy from Character Uniformity: A Stability Lemma and Its Missing Geometric Inputs, 2026. doi:10.5281/zenodo.19880900