Une architecture spectrale finie pour la séparation et le mélange des masses au carré : doublets exacts et secteurs protégés issus de l'admissibilité de Weil

Résultats principaux

• Formule fermée des modes : l'ensemble de modes cumulatif à profondeur $n$ est la somme cyclique $K_n=c[-(n+1),n+1]+\{0,\pm(c_2+c_3)\}+\{0,\pm c_3\}$ ; en particulier $K_n=-K_n$.
• Critère de parité des espacements : avant saturation, un trou encadré existe si et seulement si un espacement cyclique des neuf centres vaut $2n+4$ ; un espacement impair n'en produit jamais.
• Stabilisateur de Weil complet : $\mathrm{Stab}(W_K)=\{\left(\begin{smallmatrix}a&0\\t&a^{-1}\end{smallmatrix}\right): t\in\mathbb{F}_q,\ a\in A_K\}$, d'ordre $q|A_K|$. La valeur générique est $A_K=\{\pm1\}$ ; des familles exceptionnelles exactes donnent $C_4$ (via $a^2=-1$) et $C_6$ (via $a^2+a+1=0$), les extensions vers $C_8$ et $C_{18}$ étant exclues analytiquement.
• Rigidité additive (v1.1) : tout $a\in A_K$ satisfait $|K\,\Delta\,(K+a)|=2m$ (presque-périodicité inconditionnelle) ; si chaque run et chaque gap de $K$ dépasse le nombre de runs $m$, une permutation de correspondance des runs donne $ma\equiv t$, $0<|t|\le m$, et une descente diophantienne force $A_K=\{\pm1\}$. Les stabilisateurs exceptionnels sont ainsi confinés au régime dégénéré de frontière.
• Famille $C_4$ près de la saturation (v1.1) : un complément à quatre points $K^c=\{w,w{+}1,-w{-}1,-w\}$ porte $A_K\cong C_4$ exactement lorsque $2w^2+2w+1\equiv0\pmod q$ (résoluble ssi $q\equiv1\pmod4$), de générateur $(w{+}1)/w$ ; réalisée par des blocs déposés à $q=73,109,173$. Pour tout $|K^c|=4$, $|A_K|$ divise quatre et le cas d'ordre quatre est une orbite libre unique.
• Mécanisme des boîtes gaussiennes (v1.4, stabilisateur exact v1.5) : pour $i^2=-1$ et $q>8r^2$, la boîte $Q_r(i)=\{x+iy:|x|,|y|\le r\}$ est propre avec $C_4\subseteq A_K$ et est réalisée par des blocs admissibles à la profondeur $r-1$ pour $r\le4$ ; près de la saturation, des boîtes enroulées avec $q<8r^2$ apparaissent également. Un théorème de quatrième moment (v1.5) démontre $A_{Q_r(i)}=\langle i\rangle$ exactement pour toute boîte propre, directe ou enroulée : aucun cas ne reste à certifier individuellement. La lecture d'exhaustion antérieure des énoncés de familles est retirée, et l'affirmation fausse selon laquelle tous les compléments à quatre points audités seraient adjacents est corrigée : à $q=37$ l'orbite $\{3,18,19,34\}$ a une paire adjacente et deux gaps singletons, et les trois profils de gaps centralement symétriques apparaissent tous.
• Loi asymptotique de porosité (v1.4) : les profondeurs poreuses d'un bloc admissible uniforme convergent vers un processus ponctuel limite explicite ; le nombre de profondeurs poreuses vaut $0,\ldots,4$ avec probabilités $(3/20,7/24,9/40,5/24,1/8)$, sa moyenne est $28/15$, l'intensité est affine par morceaux avec ruptures en $1/10,1/8,1/6$, et la profondeur normalisée moyenne conditionnelle vaut $491/10080$ ; le calcul exact polyédral-rationnel est certifié par machine via un script archivé dans le dépôt du papier.
• Porteur de Mackey interne : $\mathrm{End}(V_\rho)\cong\mathbf{1}\oplus\mathcal{D}_+\oplus\mathcal{D}_-$ comme module de conjugaison sous $\mathrm{SL}(2,\mathbb{F}_q)$ ; le porteur induit appartient déjà à l'algèbre d'opérateurs bosonique, sans ajout externe.
• Doublets de Hecke : les paires génériques de série principale $\{\theta,\theta^{-1}\}$ portent des espaces de multiplicité canoniques $\mathbb{C}^2$ de commutant $M_2(\mathbb{C})$ complet ; le commutant du secteur pair vaut $\mathbb{C}^4\oplus M_2(\mathbb{C})^{(q-5)/4}$ pour $q\equiv1\pmod4$ et $\mathbb{C}^2\oplus M_2(\mathbb{C})^{(q-3)/4}$ pour $q\equiv3\pmod4$.
• Séparation de Harper universelle : l'opérateur de Harper fini a une densité réduite non scalaire dans chaque doublet générique, de valeurs propres normalisées $1\pm q^{-1/2}$ fixées par une somme de Gauss.
• Critère de mélange exact : le résidu $E_K=-P_KT_c(1-P_K)T_cP_K$ fournit un second axe dans le facteur $\theta$ si et seulement si le déterminant de phase cyclotomique $\Delta_{\theta,c}(K)=C_\theta(K)\overline{\tau_{\theta,c}} -\overline{C_\theta(K)}\tau_{\theta,c}$ est non nul ; un repère $\mathfrak{su}(2)$ canonique s'ensuit.
• Séparation galoisienne (v1.3) : $\Delta_{\theta,c}(K)\ne0\iff C_\theta(K)\ne0$ pour tout caractère d'ordre supérieur à deux : les automorphismes cyclotomiques fixant $\zeta_{q-1}$ et déplaçant $\zeta_q$ rendent impossible tout alignement de phase non trivial.
• Classification complète des zéros (v1.3) : les paires de trous sont géométriquement bornées par quatre, et $C_\theta(K)=0$ survient exactement par une paire antipodale $\theta(h_1/h_2)=-1$, un triplet cubique (rapports égaux aux deux racines cubiques primitives) ou une double paire antipodale ; chaque mécanisme est une condition de caractère explicite sur des fonctions rationnelles des paramètres du bloc.
• Protection par parité : l'algèbre étoilée unitale engendrée par les projecteurs déposés et la dynamique de Harper est paire et a une projection exactement nulle sur le secteur impair $\mathcal{D}_-$, lui-même réservoir de doublets purs pour $q\equiv1\pmod4$.

Exceptions arithmétiques et certification computationnelle

Les formules exactes sont gardées par trois couches d'audit : énumération BFS directe à $q=29$ et sur les huit cas déposés de la série O ; balayage échantillonné de 1 170 blocs et 19 153 cas de profondeur pré-saturation sur 40 nombres premiers jusqu'à 307, sans aucun échec du critère d'espacement ; audit exhaustif normalisé à $q\in\{13,17,29,31,37,41,43,53\}$.

Les audits du stabilisateur ne trouvent que les ordres deux, quatre et six : exhaustivement pour tous les premiers $13\le q\le73$, et sur 12 234 survivants du crible de divisibilité d'un audit exact échantillonné jusqu'à $q=499$. Les familles uniformes $C_4$ et $C_6$ sont vérifiées pour chaque premier applicable jusqu'à $q=997$.

La classification des zéros (v1.3) est vérifiée par deux calculs exacts indépendants sur chaque instance : exhaustivement sur tous les blocs normalisés et profondeurs pré-saturation pour $7\le q\le73$, puis par balayage échantillonné jusqu'à $q=311$, soit 31 166 cas poreux et 1 069 192 tests de zéro exacts sans aucun désaccord. Les zéros se répartissent en 3 620 facteurs à paire antipodale, 1 030 à triplet cubique et six à double paire ; la porosité seule n'implique donc pas le mélange, mais chaque mécanisme d'échec est désormais classifié.

Le régime dégénéré (v1.4) est audité exhaustivement jusqu'à $q=151$, les ensembles exceptionnels étant dédupliqués comme ensembles exacts : $75$ ensembles, $62$ d'ordre quatre et $13$ d'ordre six, classés sans reste en $52$ boîtes gaussiennes, $10$ orbites à quatre points hors boîtes et $13$ ensembles d'Eisenstein $C_6$ ; des recherches ciblées d'ordre huit à $q=193,241,257$ couvrent 4 540 161 cas pré-saturation et n'en trouvent aucun. Le kill-switch pré-enregistré original a tiré sur sa branche mécanisme (les boîtes gaussiennes) ; le kill-switch résiduel, reformulé après raffinage, est resté silencieux. La loi asymptotique est certifiée par machine via le script exact archivé et confirmée par des énumérations exactes à $q=4001$ et $q=8009$.

Interprétation (calibrée)

La structure démontrée est une architecture d'opérateurs graduée par parité : un secteur pair portant une séparation finie universelle, des repères de mélange arithmétiques indexés par la filtration et une cinématique de masse au carré à deux niveaux ; et un secteur impair de doublets protégés. Il est structurellement tentant de comparer le secteur pair à une brisure de symétrie bosonique et le secteur protégé à une donnée chirale manquante — cette comparaison est purement interprétative.

Le papier ne dérive ni masses de Dirac, ni échelle absolue, ni générations du Modèle Standard, ni hypercharge, ni mécanisme de Higgs du secteur de matière. Le résidu $E_K$ reste de type $-M^*M$, et l'échelle de séparation $q^{-1/2}$ tend vers zéro quand $q\to\infty$ sans prescription d'échelle séparée. Un doublet de multiplicité dans une algèbre d'opérateurs n'est pas en soi un doublet d'isospin faible de matière fermionique.

Relation au programme Cosmochrony

O33 est l'achèvement arithmétique de la filtration d'O12 et n'utilise la perspective d'ordre radial de l'ordre temporel projectif que pour énoncer ce que la classe d'opérateurs déposée ne peut pas faire : la frontière dirigée n'oriente pas les paires de générateurs, si bien que le relèvement impair de Harper reste hors de l'algèbre paire déposée.

En aval, les doublets $M_2(\mathbb{C})$ canoniques, l'orientation de Harper et le réservoir impair protégé sont les objets exacts sur lesquels sont conditionnés les fronts doublets du secteur fermionique ; leur transport vers un porteur de matière exige une structure nouvelle (représentation ambiante doublée et donnée chirale impaire) que le papier laisse explicitement ouverte.

Questions ouvertes

• Démontrer ou réfuter que les trois mécanismes raffinés (boîtes gaussiennes, orbites libres à quatre points, ensembles d'Eisenstein $C_6$) et les ordres $C_4$ et $C_6$ épuisent le régime dégénéré de frontière pour tout premier impair. Hors de ce régime, $A_K=\{\pm1\}$ est démontré (v1.1) ; jusqu'à $q=151$, l'audit ne trouve rien d'autre (v1.4). Les groupes d'unités des entiers de Gauss et d'Eisenstein constituent un principe organisateur pour cette question, non un théorème de complétude.
• Démontrer uniformément que le niveau d'autocorrélation maximal des ensembles d'Eisenstein $C_6$ vaut $\{\pm1,\pm\omega,\pm\omega^2\}$ ; la valeur du stabilisateur elle-même est démontrée, seule l'identification du niveau est certifiée par audit.

Références

Jérôme Beau. A Finite Spectral Architecture for Mass-Square Splitting and Mixing: Exact Doublets and Protected Sectors from Weil Admissibility. Preprint. doi:10.5281/zenodo.21360722