Vue d’ensemble
Le sous-programme de structure de jauge répond à une unique question centrale. La projection non injective $\Pi: \chi \to O$ sélectionne les configurations admissibles dans le substrat relationnel ; sa fibre $\Pi^{-1}(O_n)$ porte une structure interne : quels groupes de symétrie interne sont préservés comme invariants de la projection admissible, et pourquoi sont-ils précisément $\mathrm{U}(1)$, $\mathrm{SU}(2)$ et $\mathrm{SU}(3)$ ?
On définit $G_\Pi$ comme le groupe des symétries fibre de $\Pi$ qui préservent les contraintes d’admissibilité. Le sous-programme établit $G_\Pi = \mathrm{SU}(3) \times \mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ : le groupe de jauge du Modèle Standard est une conséquence forcée de l’admissibilité, non un postulat séparé. Le sous-programme se situe à l’intersection de la branche fondationnelle (primitive axiomatique et structure de fibre) et de la branche d’admissibilité spectrale (représentation de Weil, co-admissibilité). Il couvre uniquement l’identification du groupe de jauge ; la dérivation de la dynamique de Yang–Mills relève du sous-programme de stratification spectrale jauge–gravité.
La chaîne structurelle
$\Pi \simeq S^3 \;\Longrightarrow\; S^1 \hookrightarrow S^3 \to S^2 \;\Longrightarrow\; \mathrm{U}(1) \;\Longrightarrow\; \mathfrak{su}(2) \text{ depuis } \operatorname{Im}\mathbb{H} \;\Longrightarrow\; \mathrm{SU}(2) \;\Longrightarrow\; \mathrm{SU}(3).$
Trois facteurs proviennent de mécanismes structurels distincts : la symétrie de phase $\mathrm{U}(1)$ de la fibre de Hopf, dont le nombre d’enroulement $w \in \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ est l’origine topologique de la charge électrique ($q_{\mathrm{eff}} = w \cdot e$) ; la rigidité $\mathrm{SU}(2)$ forcée par $\mathbb{H}$ comme algèbre associative non commutative minimale admissible, avec $\dim_\mathbb{R} \operatorname{Im}\mathbb{H} = 3$ donnant trois directions internes et le théorème de rigidité O27 forçant tout morphisme admissible à se factoriser à travers $\mathfrak{su}(2)$ ; et la symétrie $\mathrm{SU}(3)$ des triplets de couleur co-admissibles $\{V_c, V_{\omega c}, V_{\omega^2 c}\}$ pour $q \equiv 1 \pmod 3$, établie de façon inconditionnelle sur le graphe de Cayley adapté aux couleurs (O31) et aux niveaux du rang, moyenné et exposant effectif sur le graphe standard (O31–O32).
Articles du sous-programme
Fibre de phase $\mathrm{U}(1)$ et quantification de la charge.
- Foundation — identifie la fibre de projection $\Pi^{-1}(O_n)$ avec la représentation de Weil $V_\rho$ de $\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$, porteuse d’une structure symplectique (et donc de phase) canonique.
- TopologicalInvariants — classifie les invariants d’homotopie admissibles de la fibre de projection. Charge électrique $q_{\mathrm{eff}} = w \cdot e$ depuis $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ ; absence de monopôles magnétiques depuis $\pi_2(\mathcal{C}_{\mathrm{adm}}) = 0$ sur le modèle canonique ; chiralité projective comme dépendance d’orientation de l’admissibilité.
- SMchargemass — interprète masse, charge et inertie comme classes de symétrie distinctes d’un unique mécanisme de réponse bornée ; invariance de jauge $\mathrm{U}(1)$ locale comme liberté de phase résiduelle de la description projetée.
Admissibilité quaternionique $\mathrm{SU}(2)$.
- O23 — $\mathbb{H}$ est l’algèbre associative non commutative minimale admissible ; $\dim_\mathbb{R} \operatorname{Im}\mathbb{H} = 3$ dérive le seuil $\Sigma_c(n_3) = 3$ au lieu de le postuler.
- O27 — théorème de rigidité quaternionique : tout morphisme admissible $\Phi_{q,\rho}$ se factorise à travers $\mathfrak{su}(2)$, démontré inconditionnellement.
- O28 — calibration asymptotique : la covariance $\mathcal{C}_c$ est de rang 3 avec structure invariante des valeurs propres $[1 : \tfrac12 : \tfrac12]$.
- O29 — secteur de spin $\tfrac12$ identifié via la formule du rang symétrique ; solution unique $d_\rho = 2$ confirmée pour $q \in \{61, 101, 151\}$.
- O30 — dérivation analytique du rapport invariant des valeurs propres $\lambda_1/\lambda_2 = 2$ depuis la contrainte fibre équatoriale.
- Q7 — $H_{\mathrm{eff}} = \mathrm{Sym}^2(V_\rho)$ est l’unique $\mathfrak{su}(2)$-module irréductible de dimension 3 ; les structures $\mathfrak{su}(2)$ spatiale et interne sont verrouillées au niveau de la théorie des représentations.
Charges de jauge et structure de fibré admissible.
- Q6a — fibré principal admissible complet $P_{G_\Pi}(M, G_\Pi)$ avec $G_\Pi = \mathrm{SU}(3) \times \mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ ; charges de jauge comme invariants d’holonomie de la connexion admissible.
- Q12 — décomposition base–fibre et lemme de découplage horizontal–vertical : le secteur de jauge $a_4$ et le secteur gravitationnel $a_2$ sont indépendants à l’ordre dominant ; le groupe de jauge est pris en entrée depuis Q6a et la série O.
Co-admissibilité du triplet de couleur $\mathrm{SU}(3)$.
- O31 — l’entrelacement métaplectique force la co-admissibilité des triplets de manière inconditionnelle sur le graphe de Cayley adapté aux couleurs ; la voie spectrale vers $[\mathrm{H\text{-}color}]$ sur le graphe standard est close ; $\mathrm{SU}(3)$ identifié comme symétrie des triplets co-admissibles $\{V_c, V_{\omega c}, V_{\omega^2 c}\}$.
- O32 — $[\mathrm{H\text{-}color}]$ clos aux niveaux du rang, moyenné et exposant effectif ; passage numérique pour $q \in \{61, 151, 211, 307\}$ ; égalité ponctuelle des profils à $q$ fini désormais prouvée analytiquement par O31 v1.5 (empreinte BI à fréquence unique), le $R_{\mathrm{var}}$ résiduel étant réinterprété comme empreinte d'échantillonnage fini des tirages auxiliaires.
Entrées et sorties
Entrées amont. La représentation de Weil $V_\rho \simeq L^2(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$ comme théorème de la branche fondationnelle ; la contrainte de flux borné de Born–Infeld ; la non-injectivité comme nécessité structurelle (ENI) ; et, depuis le sous-programme d’admissibilité spectrale (Note de présentation 1), le secteur admissible de spin $\tfrac12$, le seuil $\Sigma_c(n_3) = 3$ et $\operatorname{Im}\mathbb{H} \cong \mathfrak{su}(2)$. Depuis le sous-programme d’émergence géométrique (Note de présentation 2), la variété de base effective $\mathbb{R}_\tau \times \mathrm{Heis}_3(\mathbb{R})$ sur laquelle le fibré principal est défini.
Sorties. Le groupe de jauge $G_\Pi = \mathrm{SU}(3) \times \mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ ; le fibré principal admissible $P_{G_\Pi}(M, G_\Pi)$ ; la quantification de la charge $q_{\mathrm{eff}} = w \cdot e$ avec l’absence de monopôles magnétiques sur le modèle canonique ; $d_\rho = 2$ et la clôture $\mathfrak{su}(2)$ ; $\mathrm{SU}(3)$ inconditionnel sur le graphe standard via $[\mathrm{H\text{-}color}]_{\mathrm{pointwise}}$ (O31 v1.5, empreinte BI à fréquence unique) ; la chiralité projective — consommés par Q12, Q13, Q14 et le sous-programme de stratification jauge–gravité.
État
L’identification du groupe de jauge est close aux trois niveaux ($\mathrm{U}(1)$, $\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SU}(3)$) : $\mathrm{U}(1)$ et $\mathrm{SU}(2)$ analytiquement, via la fibre de phase de Hopf et le théorème de rigidité O27 ; $\mathrm{SU}(3)$ inconditionnellement sur le graphe adapté aux couleurs (O31) et aux quatre niveaux analytiques (rang, moyenné, exposant effectif, ponctuel) sur le graphe standard (O31 v1.5–O32), le dernier via la Proposition 4.23 de O31 (structure d'empreinte BI à fréquence unique). Deux éléments restent ouverts : l’extension de l’exclusion topologique des monopôles magnétiques ($\pi_2(\mathcal{C}_{\mathrm{eff}}) = 0$) au-delà du modèle canonique ; et la dérivation de la structure spécifique $V - A$ du courant d’interaction faible depuis les données d’admissibilité. Cette note ne dérive pas la dynamique de Yang–Mills — celle-ci relève du sous-programme de stratification spectrale jauge–gravité (Note de présentation 8).