Vue d'ensemble
Le papier Gravité a montré que la variation horizontale du fonctionnel d'entropie spectrale projective \[ S_\Pi[g] = \tfrac{1}{2}\log\det' A_g \] par rapport à la métrique de base produit le tenseur d'Einstein comme réponse infrarouge dominante, via le coefficient de Seeley–DeWitt $a_2$.
Q12 réalise la variation verticale complémentaire. L'opérateur $A_g$ est étendu en \[ A_{g,\mathcal{A}} = -(\nabla^{\mathcal{A}})^2 + E \] sur le fibré vectoriel associé à la fibre principale admissible $P_{G_\Pi}(M, G_\Pi)$, et le coefficient de Seeley–DeWitt $a_4$ est calculé.
Le fonctionnel étendu $S_\Pi[g,\mathcal{A}]$ contient le terme de Yang–Mills renormalisé avec un couplage logarithmique, et sa variation verticale donne les équations de Yang–Mills $D_\mu F^{a\mu\nu} = 0$ dans le secteur sans courant.
Contributions principales
- Extension au fibré vectoriel : l'opérateur spectral $A_g$ est relevé en $A_{g,\mathcal{A}}$ sur le fibré associé, incorporant la connexion de jauge admissible $\mathcal{A}$ issue de Q6a/O31.
- Coefficient $a_4$ et terme de Yang–Mills : en isolant la composante de jauge $\Omega^{\mathrm{gauge}}_{\mu\nu} = F_{\mu\nu}$ de la courbure totale du fibré, \[ a_4(A_{g,\mathcal{A}})\big|_{\mathrm{jauge}} = \int \frac{1}{12}\,\mathrm{tr}_\rho(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})\sqrt{g}\,\mathrm{d}^4x, \] le facteur global $(4\pi)^{-2}$ étant porté une seule fois par le préfacteur du noyau de la chaleur. Le running logarithmique induit de $g_{\mathrm{YM}}^{-2}$ a pour coefficient $I_\rho/(3\cdot 16\pi^2)$ — le terme d'entropie porte $I_\rho/(12\cdot 16\pi^2)$ pour $\int F^2$, qui se matche à $(4g_{\mathrm{YM}}^2)^{-1}$ et non à $g_{\mathrm{YM}}^{-2}$ — dépendant de la représentation via l'indice de Dynkin $I_\rho$, donc non universel.
- Variation verticale et équations de Yang–Mills : $\delta_{\mathcal{A}} S_\Pi[g,\mathcal{A}] = 0$ donne $D_\mu F^{a\mu\nu} = 0$ (démontré pour la dérivation de $a_4$ étant donné $G_\Pi$).
- Différence de degré de divergence UV : dans un cutoff en temps propre, le terme d'Einstein diverge quadratiquement (ordre $a_2$) et le terme de Yang–Mills logarithmiquement (ordre $a_4$). Cette différence est structurelle dans ce schéma et n'est pas indépendante du schéma — le déterminant régularisé par fonction zêta ne porte aucune divergence de puissance. Les couplages physiques $g_{\mathrm{YM}}$ et $G_N$ sont des données renormalisées de matching, et seul le running logarithmique est calculé. Aucune formule prédictive de $G_N$ ni hiérarchie sans ajustement n'est revendiquée (conforme à Gravité 3.3).
- Variation verticale à métrique fixée : à métrique de base fixée, la variation verticale isole le secteur de Yang–Mills. Le découplage horizontal–vertical complet n'est pas valable : la variation métrique de $F^2$ est le tenseur d'énergie–impulsion de Yang–Mills $T^{\mathrm{YM}}_{\mu\nu}$, une back-réaction d'ordre $a_4$ traitée dans Q13.
La stratification spectrale comme principe organisationnel
Au-delà de la dérivation technique, Q12 identifie un principe conceptuel qui distingue l'approche Cosmochrony des schémas d'unification conventionnels.
Dans l'unification groupe-théorique standard, gravité et interactions de jauge sont cherchées au même niveau algébrique — différentes représentations d'un groupe commun $G_{\mathrm{unif}}$. Leur combinaison nécessite de trouver une symétrie suffisamment grande pour accueillir les deux.
Le présent cadre suggère une image différente : gravité et dynamique de jauge sont séparées par la direction géométrique (variation horizontale vs. verticale sur le fibré admissible) et par l'ordre spectral ($a_2$ vs. $a_4$ dans la hiérarchie de Seeley–DeWitt). Leurs comportements UV distincts — divergence quadratique pour la gravité, logarithmique pour la jauge — sont des conséquences structurelles de cette séparation, et non des données empiriques indépendantes.
Position dans le programme
Q12 est le pendant vertical du papier Gravité. Chaque secteur découle du même fonctionnel par variation dans une direction différente ; joindre les deux variations, et le système conditionnel qui en résulte, relève de Q13 :
- Papier Gravité : $\delta_g S_\Pi = 0 \implies G_{\mu\nu} = 8\pi G_N T^{(\Pi)}_{\mu\nu}$
- Q12 : $\delta_{\mathcal{A}} S_\Pi = 0 \implies D_\mu F^{a\mu\nu} = 0$
Le groupe de jauge $G_\Pi$ est hérité de Q6a/O31. Le secteur SU(3) est inconditionnel au niveau ponctuel : $[H\text{-color}]_{\mathrm{pointwise}}$ (égalité exacte $\sigma_c(n) = \sigma_{\omega c}(n) = \sigma_{\omega^2 c}(n)$ à $q$ fini) est prouvé analytiquement dans O31 v1.5 (Proposition 4.23) via la structure à fréquence unique de l'empreinte Born–Infeld.
La variation jointe — le système Einstein–Yang–Mills conditionnel et la back-réaction $T^{\mathrm{YM}}_{\mu\nu}$ d'ordre $a_4$ — est traitée dans Q13, où les couplages restent de même des données de matching renormalisées indépendantes : aucune valeur numérique de $G_N g_{\mathrm{YM}}^2$ n'en découle.
Perspectives ouvertes
- Unicité de Yang–Mills SU(3) : montrer que la dynamique de jauge SU(3) émerge uniquement de la structure de co-admissibilité des triplets de couleur, sans supposer le groupe comme donnée (O31 §9.2).
- Secteur de matière : étendre la variation verticale pour inclure les courants de matière projetée $J^{a\nu}$.
- Stratification spectrale au-delà de l'ordre 4 : déterminer si les coefficients $a_6$, $a_8$ produisent des secteurs d'interaction supplémentaires ou restent supprimés.
Référence
Jérôme Beau, Yang–Mills Dynamics from Projective Spectral Entropy: Vertical Heat-Kernel Variation on the Admissible Fibre, 2026. doi:10.5281/zenodo.20189137