Opérateur de Yukawa projeté et facteur polaire chiral

Résultats principaux

• Observable carrée de Yukawa. L'observable de niveau générationnel du secteur Schur-résidu est le carré hermitien positif $H_\Pi := Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$, avec $\mathrm{Spec}(H_\Pi)|_{C^3_{\mathrm{gen}}} = \lambda_Y^2\,\{1, \tfrac12+u, \tfrac12-u\}$. Ainsi $E_\Pi^2|_{C^3_{\mathrm{gen}}}$ détermine les niveaux carrés de Yukawa, pas le morphisme lui-même.
• Ambiguïté polaire chirale (no-go partiel). Par décomposition polaire $Y_\Pi = U_\Pi H_\Pi^{1/2}$, où $U_\Pi$ est une application chirale unitaire sur le support de $H_\Pi$. Puisque $H_\Pi$ est aveugle à tout unitaire côté droit ($Y_\Pi \mapsto V Y_\Pi$ laisse $Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$ inchangé), le résidu carré ne fixe pas $Y_\Pi$.
• Ce qui vit dans $U_\Pi$. L'orientation chirale et la phase de mélange complexe résident dans $U_\Pi$. La norme positive de Yukawa $\lambda_Y$ est une échelle séparée de $H_\Pi$ — un unitaire ne peut pas la porter — et est elle aussi invisible à l'opérateur de niveau sans dimension $E_\Pi^2$.
• Signe de $u$. Dans une base orientée $J_3$-labellisée $(e_0, e_+, e_-)$ l'opérateur de niveau voit déjà le signe relatif de $u$ ; sans ce choix d'orientation, l'échange $e_+ \leftrightarrow e_-$ envoie $u \mapsto -u$ et laisse le spectre carré non ordonné inchangé. La donnée ouverte est la branche d'orientation physique, pas un scalaire visible à $E_\Pi^2$ seul.

Branche CP-réelle diagonale

La réduction CP-paire réelle impose $v = 0$ (pas de mélange hors-diagonale pour des données sans phase). Dans le présent langage c'est la branche $U_\Pi = \mathbf{1}$, où l'opérateur de Yukawa est la racine positive elle-même, $Y_\Pi = \lambda_Y\,\mathrm{diag}(1, \sqrt{\tfrac12+u}, \sqrt{\tfrac12-u})$, réel et diagonal sans mélange. C'est un choix de branche, non un fait dérivé : un $U_\Pi$ non trivial injecte une structure hors-diagonale et complexe que $E_\Pi^2$ ne peut enregistrer, et son origine de premiers principes est la phase métaplectique complexe de la complétion lorentzienne.

Classe polaire (Front 3c)

Le facteur polaire $U_\Pi$ n'est pas une observable canonique mais une classe de rephasage, le double quotient $[U_\Pi] \in U(1)^3_R \backslash U(3) / U(1)^3_L$ : les niveaux de génération distincts épinglent chaque porteur chiral à sa base propre de niveau à une phase diagonale près, de sorte que les changements de base chiraux admissibles sont des rephasages diagonaux $U_\Pi \mapsto V_R U_\Pi V_L^{-1}$. Ses invariants de rephasage sont les modules $|(U_\Pi)_{ij}|$ et une phase de Jarlskog — trois angles de mélange et une phase CP.

Non-trivialité. La classe quitte l'identité si et seulement si le générateur métaplectique a une composante transverse (hors-diagonale) non nulle ; les détecteurs sont les modules hors-diagonaux et l'invariant de Jarlskog, d'ordre dominant $\gamma^3 \propto \Im(A_{12}A_{23}A_{31})$. Sur la cascade réelle dérivée cette composante transverse est absente ($v = 0$), donc $[U_\Pi] = [I]$ et aucun mélange physique n'est produit à ce strate. Une classe non triviale exige une vraie phase métaplectique complexe, non dérivée ici, et ne devient une matrice de mélange physique que relativement à un second secteur fermionique. Toutes les identités sont vérifiées par calcul symbolique exact.

Deux blocs transverses (pont vers le programme de rigidité). La donnée transverse se scinde en un bloc interne $e_0 \leftrightarrow e_\pm$ et un bloc externe $e_+ \leftrightarrow e_-$ ($R_{\mathrm{mix}}$). Le générateur chiral correct est la partie anti-hermitienne de la composante $J_\Pi$-impaire ; il s'annule sur données réelles. Un coefficient $\mathfrak{sl}_2$ génuinement complexe non central source le bloc interne, tandis que le bloc externe n'est jamais dans l'image du relèvement $\mathrm{Sym}^2(\mathfrak{sl}_2)$ et exigerait un nouveau strate de tour. Ainsi l'aire orientée $N_A$ (le canal Cartan réel) peut fixer la normalisation du split diagonal sans prédire la classe de mélange polaire : les données $N_A/\varepsilon$ et CKM/PMNS se séparent.

Structure réelle (Front 3e) : fermeture négative au strate présent. Le générateur polaire chiral ne dépend que des coefficients non centraux imaginaires : $[U_\Pi] = [I]$ si et seulement si $\Im p = \Im q = 0$, la partie Cartan imaginaire étant un rephasage $J_3$ trivial dans la classe, et un repère spinoriel complexe laisse la classe inchangée (la complexité des matrices n'est pas la complexité des coefficients). Au strate présent ces coefficients sont forcés réels — le pas de cascade est réel et le relèvement hérité ne porte que la phase cyclotomique centrale $\zeta_q$ (pas de phase de Gauss métaplectique) — donc $[U_\Pi] = [I]$ : le corpus dérive le split diagonal de génération mais pas le mélange. Une classe non triviale exige une phase métaplectique complexe non centrale, disponible seulement via un nouveau strate de tour (la même porte de rigidité que $\varepsilon=1/10$).

Statut et livrable ouvert

Établi. L'observable carrée $H_\Pi = Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$ avec $\mathrm{Spec}(H_\Pi)|_{C^3_{\mathrm{gen}}} = \lambda_Y^2\{1, \tfrac12+u, \tfrac12-u\}$, la décomposition polaire $Y_\Pi = U_\Pi H_\Pi^{1/2}$, et la caractérisation en classe polaire $[U_\Pi] \in U(1)^3_R \backslash U(3) / U(1)^3_L$ avec son critère de non-trivialité par composante transverse. Tous sont structurels et inconditionnels étant données les identifications du porteur de la réduction de Schur, la clôture du secteur pair Born–Infeld, et la note de ligne, et sont vérifiés par calcul symbolique exact.

Conditionnel. Sur la cascade réelle dérivée le canal transverse est absent ($v = 0$), donc $[U_\Pi] = [I]$ et aucun mélange n'est produit à ce strate.

Ouvert. La norme positive séparée $\lambda_Y$ et une classe polaire non triviale $[U_\Pi] \neq [I]$ — qui exige une phase métaplectique complexe non centrale, disponible seulement via un nouveau strate de tour — et donc les masses absolues, le mélange générationnel et la structure CP. Le Front 3b est clos comme résultat de niveaux carrés et le Front 3c caractérise la classe polaire : $E_\Pi^2$ peut clore $H_\Pi = Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$ mais ne peut pas clore $Y_\Pi$ tant que la classe $[U_\Pi]$ n'est pas fixée.

Porte arithmétique du split diagonal. Le paramètre de split $u$ et le datum angulaire $\varepsilon$ ne sont pas des invariants indépendants : avec $R_\Pi = (\tfrac12+u)/(\tfrac12-u)$ et $\varepsilon(R) = (R-1)/(2(R+1))$, on a $\varepsilon(R_\Pi) = u$ identiquement. Le split diagonal $\mathrm{diag}(1, \tfrac12+u, \tfrac12-u)$ commute avec $J_3$ pour tout $u$, donc $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{C}^2)$ laisse la valeur de $u$ libre. L'égalité $u = \varepsilon = 1/10$ est donc exactement la porte de dictionnaire $R_\Pi = R_{\mathrm{ADE}} = 3/2$ (le ratio de Cayley d'ordre cinq), non produite par la récursion préservant le support. Statut : $u \sim_{\mathrm{dict}} \varepsilon$ — même fonctionnel, porteurs distincts.

Le split n'est pas la hiérarchie de masse. Même en admettant la porte, les niveaux de Yukawa carrés $\lambda_Y^2\{1, \tfrac35, \tfrac25\}$ sont des ratios d'ordre un et ne peuvent pas être la hiérarchie fermionique observée par assignation directe ; le facteur de cascade single-level est lui-même d'ordre un. La hiérarchie est donc portée, si tant est qu'elle le soit, par des profondeurs de cascade dépendant de la génération $n_g$ dans la loi d'amplification projective $\Lambda_{\mathrm{proj}}(n)$ (régime de croissance exponentiel) : l'exposant de cascade fixe le taux d'amplification, tandis que les profondeurs de stabilisation par génération restent le prochain datum structurel — $\lambda_Y$ étant exclu comme porteur de hiérarchie. La route en croissance linéaire vers ces profondeurs est désormais fermée : toute profondeur lue sur la loi de croissance $N(\lambda;n)\sim F_{\mathrm{KM}}(\lambda)\,n$ — profondeur de croisement, rang de saturation, ou toute fraction intermédiaire — est une fonction des mêmes coefficients de Kesten–McKay $c_g(p)$, héritant de la divergence de bord de bande et de l'épinglage de symétrie $c_2=\tfrac12$, et ne peut donc être à la fois stable en cascade et correctement ordonnée. La route positive restante — un profil décroissant contrôlé par la capacité, résolu par niveau, $\sigma_{\lambda_g}(n)$, transporté sur la cascade — est désormais elle aussi fermée comme route statique : quantifier la densité de résolution par niveau supprime l'obstruction de bord de bande au dénominateur (l'écart de profondeur devient indépendant de $c_g(p)$), mais un audit exact montre que le transport de Weil–Schur est invariant d'échelle, de sorte que la fenêtre de stabilisation requise n'est atteinte qu'en réintroduisant la valence du Laplacien $|S|$ — la normalisation du compte — ce qui ramène à la loi déjà fermée $n_g=\Delta I_g/c_g(p)$. Le spectre d'admissibilité statique fixe donc la structure des générations et le split de niveau d'ordre un, mais pas la hiérarchie des fermions chargés. La route dynamique restante — lire les profondeurs sur la trajectoire de relaxation plutôt que sur le spectre statique — a désormais elle aussi été testée au premier ordre et reproduit la même obstruction : une lecture à seuils parallèles rend l'écart de profondeur indépendant du coefficient de bord de bande mais le laisse à l'échelle d'ordre un du croisement de niveaux, tandis que les lectures séquentielle de Born–Infeld et à plancher renouvelé n'atteignent l'échelle de la hiérarchie que par l'amplification de cascade elle-même ou par un rapport plafond-plancher non fixé, deux normalisations libres. La hiérarchie n'est donc portée par aucune quantité forcée, statique ou dynamique au premier ordre, de la cascade projective, qui fixe la structure des générations, le split d'ordre un et un écart de profondeur d'ordre un indépendant du bord de bande, mais pas la hiérarchie des fermions chargés à ce stratum.

Relation au programme Cosmochronie

Cette note appartient au sous-programme matière fermionique. Elle fait suite à la note de ligne de Yukawa projetée, en utilisant la forme normale du résidu carré de la réduction de Schur ($E_\Pi = -M^\dagger M$ négatif semi-défini) et la clôture du secteur pair Born–Infeld. Le facteur polaire chiral $U_\Pi$ est désormais caractérisé comme une classe de rephasage dont la non-trivialité est la donnée métaplectique transverse, s'effondrant sur l'identité sur la cascade réelle dérivée ; une matrice de mélange physique reste le prochain front en aval, exigeant une vraie phase métaplectique complexe et un second secteur.

Références

Jérôme Beau. Projected Yukawa Operator and Chiral Polar Factor. Document de travail, 2026. 10.5281/zenodo.20767498