Aperçu
Cette note compagnonne prend la deuxième étape du front du secteur de masse du sous-programme matière fermionique, et tire une conclusion négative nette dès son entrée. La note de ligne a fixé la ligne déterminantielle $L_Y = \wedge^2(\mathcal{S}_\Pi)$ comme ligne de couplage de Yukawa et les niveaux générationnels depuis $E_\Pi^2|_{C^3_{\mathrm{gen}}} = \mathrm{diag}(1, \tfrac12+u, \tfrac12-u)$. Ici, on demande si le résidu carré détermine le morphisme de Yukawa lui-même, et on montre que non.
Le résidu carré est hermitien sur une seule chiralité, tandis que $Y_\Pi$ relie les deux chiralités ; la donnée chirale de liaison est donc invisible à $E_\Pi^2$. Ce qui survit est le carré hermitien $H_\Pi = Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$ ; le morphisme reste alors libre à un facteur polaire chiral unitaire près.
Résultats principaux
- Observable carrée de Yukawa. L'observable de niveau générationnel du secteur Schur-résidu est le carré hermitien positif $H_\Pi := Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$, avec $\mathrm{Spec}(H_\Pi)|_{C^3_{\mathrm{gen}}} = \lambda_Y^2\,\{1, \tfrac12+u, \tfrac12-u\}$. Ainsi $E_\Pi^2|_{C^3_{\mathrm{gen}}}$ détermine les niveaux carrés de Yukawa, pas le morphisme lui-même.
- Ambiguïté polaire chirale (no-go partiel). Par décomposition polaire $Y_\Pi = U_\Pi H_\Pi^{1/2}$, où $U_\Pi$ est une application chirale unitaire sur le support de $H_\Pi$. Puisque $H_\Pi$ est aveugle à tout unitaire côté droit ($Y_\Pi \mapsto V Y_\Pi$ laisse $Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$ inchangé), le résidu carré ne fixe pas $Y_\Pi$.
- Ce qui vit dans $U_\Pi$. L'orientation chirale et la phase de mélange complexe résident dans $U_\Pi$. La norme positive de Yukawa $\lambda_Y$ est une échelle séparée de $H_\Pi$ — un unitaire ne peut pas la porter — et est elle aussi invisible à l'opérateur de niveau sans dimension $E_\Pi^2$.
- Signe de $u$. Dans une base orientée $J_3$-labellisée $(e_0, e_+, e_-)$ l'opérateur de niveau voit déjà le signe relatif de $u$ ; sans ce choix d'orientation, l'échange $e_+ \leftrightarrow e_-$ envoie $u \mapsto -u$ et laisse le spectre carré non ordonné inchangé. La donnée ouverte est la branche d'orientation physique, pas un scalaire visible à $E_\Pi^2$ seul.
Branche CP-réelle diagonale
La réduction CP-paire réelle impose $v = 0$ (pas de mélange hors-diagonale pour des données sans phase). Dans le présent langage c'est la branche $U_\Pi = \mathbf{1}$, où l'opérateur de Yukawa est la racine positive elle-même, $Y_\Pi = \lambda_Y\,\mathrm{diag}(1, \sqrt{\tfrac12+u}, \sqrt{\tfrac12-u})$, réel et diagonal sans mélange. C'est un choix de branche, non un fait dérivé : un $U_\Pi$ non trivial injecte une structure hors-diagonale et complexe que $E_\Pi^2$ ne peut enregistrer, et son origine de premiers principes est la phase métaplectique complexe de la complétion lorentzienne.
Statut et livrable ouvert
Établi. L'observable carrée $H_\Pi = Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$ avec $\mathrm{Spec}(H_\Pi)|_{C^3_{\mathrm{gen}}} = \lambda_Y^2\{1, \tfrac12+u, \tfrac12-u\}$, et la décomposition polaire $Y_\Pi = U_\Pi H_\Pi^{1/2}$. Les deux sont structurels et inconditionnels étant données les identifications du porteur de la réduction de Schur, la clôture du secteur pair Born–Infeld, et la note de ligne. Toutes les identités d'opérateurs sont vérifiées par calcul symbolique exact.
Ouvert. Le facteur polaire chiral $U_\Pi$ (orientation chirale et phase de mélange complexe), la norme positive séparée $\lambda_Y$, et donc les masses absolues, le mélange générationnel et la structure CP. Le Front 3b est clos comme résultat de niveaux carrés, pas de mélange : $E_\Pi^2$ peut clore $H_\Pi = Y_\Pi^\dagger Y_\Pi$ mais ne peut pas clore $Y_\Pi$ tant que $U_\Pi$ n'est pas fixé.
Relation au programme Cosmochronie
Cette note appartient au sous-programme matière fermionique. Elle fait suite à la note de ligne de Yukawa projetée, en utilisant la forme normale du résidu carré de la réduction de Schur ($E_\Pi = -M^\dagger M$ négatif semi-défini) et la clôture du secteur pair Born–Infeld. Le facteur polaire chiral $U_\Pi$ — le mélange et l'orientation chirale — est le prochain front en aval, à dériver ou contraindre depuis la phase métaplectique complexe.
Références
Jérôme Beau. Projected Yukawa Operator and Chiral Polar Factor. Document de travail, 2026. 10.5281/zenodo.20767498