Opérateur de Yukawa projeté et facteur polaire chiral

Prémisses, aucune fournie par une source

Quatre prémisses sont nommées, et chaque énoncé de l'article est étiqueté par celles qu'il utilise. [H-Res] : l'opérateur modèle $\mathrm{diag}(1, \tfrac12+u, \tfrac12-u)$ est la restriction de $E_\Pi^2$ à $C^3_{\mathrm{gen}}$. [H-Sq] : le carré de Yukawa est le carré du résidu, $H_\Pi = \lambda_Y^2\,E_\Pi^2|_{C^3_{\mathrm{gen}}}$. [H-Fac] : il existe un porteur de liaison faible $K$ dont l'espace des couplages invariants est non nul (F1) et de dimension au plus un (F2) ; les deux conditions sont indépendantes, et ensemble elles permettent aux résultats sur le bloc de génération d'atteindre le morphisme complet $Y_\Pi$. [H-Grad] : chaque porteur de génération a sa propre graduation $J_3$. Les chiralités de l'article sont des chiralités de Lorentz du facteur spinoriel sous [H-Spin] ; ce ne sont pas la sélection $V-A$, qui est le contenu en représentations de [H-Weak].

Résultats principaux

• Le carré fixe les niveaux, pas le morphisme. Sous [H-Res] et [H-Sq], $H_\Pi$ est hermitien positif de spectre $\mathrm{Spec}(H_\Pi)|_{C^3_{\mathrm{gen}}} = \lambda_Y^2\{1, \tfrac12+u, \tfrac12-u\}$. La décomposition polaire $Y^{\mathrm{gen}}_\Pi = U_\Pi H_\Pi^{1/2}$ est de l'algèbre linéaire et n'utilise aucune prémisse : un carré hermitien ne détermine le morphisme qu'à un facteur polaire unitaire près.
• Ce que contient $U_\Pi$. L'orientation chirale et la phase de mélange complexe résident dans $U_\Pi$. La norme positive $\lambda_Y$ est une échelle séparée de $H_\Pi$, qu'un unitaire ne peut porter et que $E_\Pi^2$ ne voit pas non plus.
• Classe de rephasage (sous [H-Grad]). Le facteur polaire n'est pas canonique mais une classe $[U_\Pi] \in U(1)^3_R \backslash U(3) / U(1)^3_L$, les deux groupes étant les commutants des graduations $J_3$ des deux porteurs. Pour $0 < u < \tfrac12$, l'espace des classes est de dimension $9 - 5 = 4$ : trois angles de mélange et une phase de Jarlskog $\mathcal{J}_{\mathrm{CP}}$.
• Critère au premier ordre. Pour une famille de morphismes, $[U_\Pi] \neq [I]$ au premier ordre si et seulement si le générateur polaire $\Omega$ a une partie transverse (hors diagonale) non nulle ; l'invariant de Jarlskog a pour ordre dominant $\gamma^3 \propto \Im(A_{12}A_{23}A_{31})$. Une tangente nulle n'exclut pas une sortie à un ordre supérieur.
• Signe de $u$. Dans une base orientée étiquetée par $J_3$, $(e_0, e_+, e_-)$, l'opérateur de niveaux voit le signe relatif de $u$ ; sans ce choix d'orientation, l'échange $e_+ \leftrightarrow e_-$ envoie $u \mapsto -u$ et laisse inchangé le spectre carré non ordonné.
• Aucun mécanisme de splitting non nul. Sur la branche de Q14 compatible avec l'orientation, une entrée, dans le cadre de PRS (sous son hypothèse de lecture générationnelle) un splitting diagonal non nul requiert un opérateur de locking qui brise l'équivariance $J_\Pi$, et aucun mécanisme n'est dérivé ; la branche n'est pas la structure $V-A$.

Le générateur polaire face à $A_\Pi^{\mathrm{odd}}$

La note sépare deux objets qui ne doivent pas être identifiés. Le générateur polaire d'une famille à paramètre réel de morphismes inversibles $Y(\gamma) = U P$ entre repères orthonormés fixes, avec $P > 0$, est l'opérateur anti-hermitien $\Omega = U^\dagger\,\mathrm{d}U/\mathrm{d}\gamma$. C'est l'unique solution de l'équation de Sylvester $\Omega P + P\Omega = U^\dagger\,\mathrm{d}Y - (\mathrm{d}Y)^\dagger U$. Les supports singuliers et les repères mobiles ne sont pas couverts. À l'identité, pour $\mathrm{d}Y$ égal au relèvement $\mathrm{Sym}^2$ $L(M)$ de $M = pE + qF + rH \in \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, on a $\Omega(0) = $ la partie anti-hermitienne de $L(M)$ : elle est $J_\Pi$-paire et en général non nulle, d'entrée interne $\tfrac{\sqrt2}{2}(q - \bar p)$, non nulle pour $p \neq q$ réels.

La projection $A_\Pi^{\mathrm{odd}}$ est définie dans l'article comme la partie anti-hermitienne de la partie $J_\Pi$-impaire de ce relèvement, pour la parité antilinéaire interne $J_\Pi$ de la copie de génération. Elle s'annule identiquement pour tout coefficient complexe, car avec un $J_\Pi$ antilinéaire la partie $J_\Pi$-impaire du relèvement est sa partie hermitienne ; les opérateurs anti-hermitiens $J_\Pi$-impairs se situent dans les composantes de spin zéro et de spin deux, hors de l'image de $\mathfrak{sl}_2$. C'est un énoncé sur $A_\Pi^{\mathrm{odd}}$ tel que défini : ce n'est pas le générateur polaire, elle ne détermine pas le facteur polaire, et aucun énoncé sur $[U_\Pi]$ ne découle de $A_\Pi^{\mathrm{odd}} = 0$.

Contre-exemple exact. Pour le pas de cascade réel $g = e^{tE}e^{sF}$, le facteur polaire de $\mathrm{Sym}^2 g$ a pour entrée externe $(e_+, e_-)$ $(t-s)^2/\big((2+ts)^2 + (t-s)^2\big)$, égale à $1/5$ en $(t, s) = (1, 0)$ et à $1/17$ en $(2, 1)$, bien que la tangente externe à l'identité soit nulle : un générateur infinitésimal sans entrée externe n'exclut pas qu'il y en ait une dans le facteur fini. Le facteur est réel, donc son invariant de Jarlskog est nul ; des modules de mélange non nuls avec des données réelles n'établissent pas une violation de CP. $\mathrm{Sym}^2 g$ n'est pas un morphisme de Yukawa, et le carré $H_\Pi$ ne détermine pas les données polaires : $Y_0 = D$ et $Y_1 = VD$ ont le même carré pour tout unitaire $V$.

Branche diagonale CP-réelle

La branche diagonale CP-réelle est définie par $U_\Pi = \mathbf{1}$. Le bloc de Yukawa y est la racine positive elle-même, $Y^{\mathrm{gen}}_\Pi = \lambda_Y\,\mathrm{diag}(1, \sqrt{\tfrac12+u}, \sqrt{\tfrac12-u})$, réelle et diagonale, sans mélange. C'est un choix de branche, pas un fait dérivé : elle n'est pas impliquée par l'annulation du canal hors diagonale $R_{\mathrm{mix}}$ de $E_\Pi^2$ ($v = 0$), qui concerne $E_\Pi^2$ et non la classe polaire. Le bloc externe $R_{\mathrm{mix}}$ n'a aucun élément de matrice dans l'image de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ dans le modèle de pas de Q14 (Remarque 6.4, un énoncé sur les éléments de matrice du relèvement, pas sur les entrées d'un facteur polaire) ; Q14 n'exclut le bloc interne $e_0 \leftrightarrow e_\pm$ que par hypothèse (Proposition 6.3), et aucune exclusion physique du bloc interne ni du mélange n'est revendiquée.

Statut et livrable ouvert

Établi (pour le bloc de génération, avec les prémisses que chaque énoncé nomme) : l'ambiguïté polaire ; le spectre de $H_\Pi$ sous [H-Res] et [H-Sq] ; la classe de rephasage et ses quatre paramètres sous [H-Grad] ; le critère de non-trivialité au premier ordre ; la caractérisation de Sylvester du générateur polaire ; l'annulation de $A_\Pi^{\mathrm{odd}}$ telle que définie et sa distinction d'avec le générateur polaire ; le contre-exemple exact ; la lecture en théorie des représentations de [H-Fac]. Les identités sont vérifiées en arithmétique exacte par les scripts du dépôt.

Ouvert. Le corpus ne fournit aucune famille de morphismes de Yukawa dont le facteur polaire soit $U_\Pi$, de sorte que la classe polaire physique $[U_\Pi]$ est ouverte, ainsi que le pont d'un pas métaplectique vers un morphisme de Yukawa (normalisation, identification des porteurs, métriques hermitiennes, transport du paramètre et des repères, données relatives des deux secteurs). Définir un générateur par la partie $J_\Pi$-impaire, comme le fait $A_\Pi^{\mathrm{odd}}$, est un choix de modélisation qu'aucune source ne justifie. La norme positive $\lambda_Y$, les quatre prémisses (y compris le porteur de liaison faible $K$ et la construction de $E_{\mathrm{weak}}$), la matrice de mélange, observable seulement relativement à un second secteur fermionique, et donc les masses absolues, le mélange des générations et la structure CP restent ouverts.

Verrou arithmétique du split diagonal. Avec $R_\Pi = (\tfrac12+u)/(\tfrac12-u)$ et $\varepsilon(R) = (R-1)/(2(R+1))$, on a identiquement $\varepsilon(R_\Pi) = u$. Le split $\mathrm{diag}(1, \tfrac12+u, \tfrac12-u)$ commute avec $J_3$ pour tout $u$, de sorte que $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{C}^2)$ laisse $u$ libre : l'égalité $u = \varepsilon = 1/10$ est exactement le verrou de dictionnaire $R_\Pi = R_{\mathrm{ADE}} = 3/2$, non produit par la récursion des opérations admissibles (qui préservent le porteur relativement à [M] de la note AOG, avec [H-WS] pour $R_b$).

Le split n'est pas la hiérarchie de masse. Au verrou, les niveaux carrés $\lambda_Y^2\{1, \tfrac35, \tfrac25\}$ sont des rapports d'ordre un et ne peuvent être la hiérarchie observée des fermions chargés par assignation directe ; le facteur de cascade à un niveau est lui-même d'ordre un. La hiérarchie devrait être portée par des profondeurs de cascade dépendant de la génération, qui ne sont pas dérivées : les profondeurs de croisement de niveaux, celles de la loi de croissance linéaire, la voie de la densité de résolution quantifiée et la voie multicycle à plancher renouvelé sont exclues dans les familles testées, chacune réintroduisant une normalisation libre ou un écart d'ordre un. La hiérarchie des profondeurs reste donc une donnée ouverte, et la cible des leptons chargés est consignée séparément comme la contrainte de dispersion unité de Koide.

Relation au programme Cosmochrony

Cette note appartient au sous-programme matière fermionique. Elle fait suite à la note sur la ligne de Yukawa projetée, et utilise la forme normale du résidu carré de la réduction de Schur (le reste de compression $-N^\dagger N \preceq 0$ d'un opérateur de locking, qui est l'endomorphisme projectif seulement sous une identité de symbole) ainsi que le typage de Q14 ([H-Spin], [H-Weak]). Une matrice de mélange physique ne serait observable que comme classe polaire relative entre deux secteurs fermioniques partageant un porteur de génération, et reste le front ouvert en aval.

Références

Jérôme Beau. Projected Yukawa Operator and Chiral Polar Factor. Document de travail, 2026. 10.5281/zenodo.20767498. Code : github.com/Cosmochrony/projected-yukawa-operator.