Aperçu
Cette note compagnonne ouvre le front du secteur de masse du sous-programme matière fermionique. Elle ne dérive ni masse, ni couplage de Yukawa, ni mélange. Elle consigne deux énoncés, chacun avec l'hypothèse dont il a besoin, et les sépare nettement de l'opérateur de Yukawa, qui exige plus que ce que le corpus fournit.
La méthode est énoncée une fois et tenue partout : sous [H-Weak], la ligne déterminantielle $L_Y$ fournit la ligne à partir de laquelle se construisent les poids du couplage ; l'opérateur modèle sur $C^3_{\mathrm{gen}}$, lu comme le résidu carré $E_\Pi^2|_{C^3_{\mathrm{gen}}}$ sous l'hypothèse nommée [H-Res], porte les niveaux générationnels ; et la masse vient après.
Résultats principaux
- Ligne déterminantielle (algèbre démontrée sur des données de modèle fournies). Sur un fibré de rang deux de groupe de structure dans $\mathrm{GL}(2,\mathbb{C})$, $\wedge^2$ est l'unique foncteur de dimension un parmi les puissances symétriques et extérieures $\mathrm{Sym}^k$, $\wedge^k$ ($k \geq 1$ ; les puissances $\det^b$ sont aussi de dimension un et se situent hors de cette famille). Si le groupe de structure est dans $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$, c'est une ligne triviale, invisible au secteur adjoint $\mathrm{Sym}^2$. Sous la soudure spinorielle [H-Spin] de Q14, $\wedge^2(S_L)$ est donc triviale et ne porte aucun poids abélien du groupe de spin.
- Une ligne déterminantielle faible conditionnelle. Sous le facteur faible distinct [H-Weak] de Q14, fourni par aucune source et non construit ici, la ligne $L_Y := \wedge^2(E_{\mathrm{weak}})$ de groupe de structure $\mathrm{U}(2)$ porte le poids abélien, par le caractère déterminant, tout en étant triviale sur $\mathrm{SU}(2)$. Dans cette voie fonctorielle, c'est une ligne déterminantielle faible conditionnelle, pas une ligne du fibré spinoriel. Les exposants des twists des secteurs fermioniques ne sont pas fixés par [H-Weak] seule ; Q14 les sélectionne conditionnellement.
- Ordre des niveaux générationnels. Sur le triplet singlet de jauge $C^3_{\mathrm{gen}} = \mathrm{span}(e_0, e_+, e_-)$, l'opérateur modèle $\mathrm{diag}(1, \tfrac12+u, \tfrac12-u)$ a des déficits de sortie $\{0, \tfrac12-u, \tfrac12+u\}$ qui ordonnent trois niveaux exactement pour $0 < u < \tfrac12$, avec un rapport de niveaux invariant par l'échelle spectrale. C'est de l'algèbre sur l'opérateur modèle, qui n'utilise aucune hypothèse sur $E_\Pi^2$.
- [H-Res]. Lire l'opérateur modèle comme la restriction du résidu projectif carré $E_\Pi^2$ à $C^3_{\mathrm{gen}}$ est une hypothèse nommée, [H-Res], qui n'est pas fournie. L'application des niveaux vers les générations n'est pas établie.
- Aucune valeur de masse. Les niveaux forment un motif sans dimension fixé par un seul nombre $u$ ; que ce motif soit une hiérarchie de masse dépend d'identifications qui manquent. Aucune masse, aucun couplage de Yukawa, aucun mélange n'est revendiqué.
Séparation d'avec l'opérateur de Yukawa
La ligne $L_Y$ est un ingrédient du poids abélien du couplage, pas la matrice de masse. Sous [H-Spin] et [H-Weak], les fermions gauches se situent dans $P_L\mathcal{S}_\Pi \otimes E_{\mathrm{weak}} \otimes L_Y^k$ et les fermions droits dans $P_R\mathcal{S}_\Pi \otimes L_Y^m$, le fermion droit étant un singulet faible qui porte le twist d'hypercharge $L_Y^m$. L'opérateur de Yukawa est un objet distinct, un morphisme projeté entre ces secteurs, dont le typage a un élément manquant et une lecture exclue.
- Élément manquant. Un porteur de liaison faible $K$, $\mathrm{U}(2)$-module de dimension finie avec une composante doublet, fourni par aucune source ; sans lui, un couplage invariant entre les deux secteurs n'existe pas tel que typé. La partie lorentzienne n'est pas l'élément manquant : l'appariement sesquilinéaire des facteurs chiraux contient exactement une fois le scalaire de Lorentz.
- Lecture exclue. Une application linéaire Lorentz-équivariante $P_L\mathcal{S}_\Pi \to P_R\mathcal{S}_\Pi$ : sous [H-Spin], les deux facteurs chiraux sont des $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$-modules inéquivalents, donc aucune application non nulle de ce type n'existe, par le lemme de Schur.
La norme de l'opérateur de Yukawa, l'orientation (le signe) de $u$ et le mélange sont des données ouvertes en aval, et aucune n'est fournie ici. La chiralité de Lorentz, l'admissibilité à gauche de $E_\Pi$, est une entrée de Q14 sur sa branche compatible avec l'orientation ; elle est distincte de la structure $V-A$, qui est le contenu en représentations de [H-Weak], et la note ne l'utilise pas au-delà de cette séparation. Le facteur polaire et le mélange sont traités dans la note compagnonne sur l'opérateur, où l'on montre que le générateur polaire d'une famille de morphismes diffère de la projection $A_\Pi^{\mathrm{odd}}$, qui s'annule, et que la classe polaire physique est ouverte.
Statut et livrable ouvert
Démontré (algèbre sur données de modèle fournies). L'unicité et la trivialité de la ligne déterminantielle dans la famille de foncteurs, les déficits de sortie, l'ordre pour $0 < u < \tfrac12$ et l'invariance d'échelle du rapport de niveaux. Ces points sont vérifiés par calcul symbolique exact (23 vérifications).
Conditionnel. La trivialité de $\wedge^2(S_L)$ sous [H-Spin] ; le poids abélien de $L_Y = \wedge^2(E_{\mathrm{weak}})$ sous [H-Weak] ; la lecture des niveaux comme niveaux de $E_\Pi^2|_{C^3_{\mathrm{gen}}}$ sous [H-Res]. Ni [H-Spin] ni [H-Weak] n'est fournie par une source, et $E_{\mathrm{weak}}$ n'est pas construit.
Ouvert (éléments manquants). Le facteur $E_{\mathrm{weak}}$ et la soudure spinorielle ; l'identification [H-Res] ; le porteur de liaison faible $K$ ; les exposants des twists au-delà de leur sélection conditionnelle par Q14 ; l'application des niveaux vers les générations ; l'opérateur de Yukawa, sa norme, le signe de $u$ et le mélange, y compris la classe polaire traitée dans la note compagnonne. Les masses absolues, les rapports de masse au-delà de la structure de niveaux sans dimension et le mélange des générations restent donc ouverts.
Perspective interprétative (une lecture, pas un résultat). L'endroit où le couplage de Yukawa se rattache à l'hypercharge devient la question de l'origine d'un facteur faible distinct, et les niveaux forment un motif sans dimension dont la lecture comme hiérarchie attend les identifications manquantes.
Relation au programme Cosmochrony
Cette note appartient au sous-programme matière fermionique. Elle utilise les secteurs tensoriels et les deux hypothèses [H-Spin] et [H-Weak] de Q14, la forme normale du résidu carré lue à travers l'application de lecture $\Phi$ de la réduction de Schur, hypothèse de cette note dont [H-Res] est l'instance où $\Phi$ est la restriction au triplet, et le no-go de la note NSR sur les candidats déposés pour une multiplicité faible indépendante. L'opérateur de Yukawa, la normalisation de masse et le mélange restent le front ouvert en aval.
Références
Jérôme Beau. Toward Projected Yukawa Couplings: A Conditional Weak Determinant Line and Generation-Level Ordering. Document de travail, 2026. 10.5281/zenodo.20767265. Code : github.com/Cosmochrony/projected-yukawa-line.