Aperçu
Le diagnostic Q11 de frontière orientée produit deux quantités calculables — la moyenne brute du cocycle $\langle \Delta A_c \rangle_{\partial^+} = 0$ et la borne de verrouillage maximal $\theta_{\max} = \langle (2\pi/q)\,|\Delta A_c| \rangle_{\partial^+}$ — et un donnée manquante : le poids chiral $\sigma_L \in \{\pm 1\}$ qui transforme la borne en amplitude via $\Theta_\chi = \langle \sigma_L\,(2\pi/q)\,\Delta A_c \rangle_{\partial^+}$, avec $|\Theta_\chi| \le \theta_{\max}$. Ce signal est un pendant discret de la donnée d'orientation de la note de frontière orientée Q11 ; ce n'est pas le coefficient $J_3$ du pas métaplectique, qui dans le modèle $\mathrm{SL}(2)$ de Q14 est produit par le commutateur $\mathfrak{sl}_2$ $[E,F] = H$ (Q14, Proposition 6.5).
Le backend de frontière ne fournit pas $\sigma_L$ : il s'agit du résidu survivant du relèvement chiral lorentzien. Cette note démontre, sous l'hypothèse [H-WS] (la réflexion résiduelle $R_b$ agit sur le porteur chiral comme le scalaire $-1$, de sorte que $[\gamma_5, R_b] = 0$ ; fournie par aucune source), que $\sigma_L$ ne peut être aucune fonction du générateur de cascade réel $T(e)$ — l'inversion d'arête et la réflexion résiduelle $\varphi$ agissent toutes deux comme $T \mapsto -T$, donc toute $f(T)$ a des parités d'arête et de $\varphi$ égales, alors que $\sigma_L$ doit être pair en arête et impair en $\varphi$. La résolution, sous [H-WS], est que $\sigma_L$ est le type de représentation de Weyl, $\mathbf{2}$ versus $\bar{\mathbf{2}}$ : l'inversion de groupe préserve la représentation (pair en arête) tandis que la conjugaison complexe l'échange (impair en $\varphi$).
Dans le relèvement Heisenberg à phase centrale hérité, la phase chirale est le caractère cyclotomique linéaire $\omega_\chi(e) = \zeta_q^{\Delta A_c(e)}$ — sans composante de Gauss, Maslov ou $\sqrt{5}$. Sur le support à cocycle non nul, la branche naturelle satisfait $\sigma_L(e) = \operatorname{sign} \Im\,\zeta_q^{\Delta A_c(e)} = \operatorname{sign} \Delta A_c(e)$, donnant un recouvrement de frontière sortante $\rho_\chi = 1$ et promouvant la borne à $\mathcal{N}_A = \theta_{\max} \neq 0$. Ceci établit $[\mathrm{H\text{-}orient}]$ dans le relèvement à phase centrale hérité et sous [H-WS], non inconditionnellement.
Contributions principales
- Obstruction de parité, sous [H-WS] : $\sigma_L \neq f(T(e))$. L'inversion d'arête $U(e^{-1}) = U(e)^{-1}$ et la réflexion résiduelle $\varphi = R_b \circ J_\Pi$ envoient toutes deux le générateur de cascade $J_\Pi$-impair $T(e) \mapsto -T(e)$, donc toute fonction de $T$ a des parités d'arête et de $\varphi$ égales ; le $\sigma_L$ admissible est pair en arête et impair en $\varphi$. L'identification globale $\sigma_L = \operatorname{sign} \Delta A_c$ sur toutes les arêtes orientées est donc exclue — elle rend $\sigma_L$ impair en arête et brise le contrôle de réversion $\Theta_\chi^{(\partial^+)^{-1}} = -\Theta_\chi^{\partial^+}$.
- Résolution sous [H-WS] : type de représentation de Weyl. Le poids chiral $\sigma_L$ est l'étiquette de représentation $\mathbf{2}$ versus $\bar{\mathbf{2}}$. L'inversion de groupe préserve la représentation (pair en arête) et la conjugaison complexe l'échange (impair en $\varphi$) — l'unique étiquette distinguée par la conjugaison qui sépare $\varphi$ de l'inversion d'arête. Pour un relèvement réel la représentation est auto-conjuguée et le contraste chiral s'annule, en accord avec la symétrie chirale de la cascade réelle.
- Relèvement Heisenberg à phase centrale hérité. La phase d'arête est le caractère cyclotomique linéaire $\omega_\chi(e) = \zeta_q^{\Delta A_c(e)}$, sans composante de Gauss, Maslov ou $\sqrt{5}$. Sur le support à cocycle non nul, la branche naturelle donne $\sigma_L(e) = \operatorname{sign} \Delta A_c(e)$ localement, le $\sigma_L$ global étant l'étiquette de représentation qui survit aux contraintes de parité arête/$\varphi$. Recouvrement de frontière sortante $\rho_\chi = 1$ par cette définition ; $\mathcal{N}_A = \theta_{\max} \neq 0$, $q$-stable à $0{,}4\,\%$ ($\theta_{\max} \cdot q = 2{,}114, 2{,}122, 2{,}118$ à $n_3^{\mathrm{obs}} = 2$ pour $q \in \{61, 101, 151\}$), non $q$-invariant, tandis que les rationnels par couche sont indépendants de $q$ sur les six premières couches pour $q \in \{61,101,151,211,307\}$ (domaine vérifié).
- $[\mathrm{H\text{-}orient}]$ dans le relèvement hérité, sous [H-WS] ; obstruction résiduelle. Le résultat établit la donnée d'amplitude de frontière dans le relèvement Heisenberg à phase centrale hérité et sous [H-WS], non inconditionnellement. La seule obstruction restante outre [H-WS] — une phase spin-Galois additionnelle hors du caractère central, en particulier un facteur $\sqrt{5}$ ou ADE-spin orthogonal à $\zeta_q$ — est ouverte dans cette note. L'AOG-Note montre, en prenant le relèvement chiral lorentzien comme une entrée qu'elle ne construit pas ([H-Spin] de Q14), et sous [H-WS], sa prémisse de modélisation [M], la prémisse de boost [B] et la convention de phase centrale héritée de cette note, que ce relèvement n'induit aucune action sur $\sqrt{5}$.
- Validation numérique du backend. Moyenne brute exactement nulle, contrôle anti-biais symétrisé exactement nul, $\theta_{\max} \cdot q$ stable à $0{,}4\,\%$ sur $q \in \{61, 101, 151\}$, recalculé à partir du seul dépôt CHO. Backend et borne validés ; $\sigma_L$ lui-même n'est fourni que par le relèvement chiral, pas par le backend.
Ce que cette note règle, et ce qu'elle ne règle pas
Démontré sous [H-WS]. Le poids chiral $\sigma_L$ ne peut être une fonction de $T(e)$ ; il est le type de représentation de Weyl. Dans le relèvement à phase centrale hérité, la donnée d'amplitude de frontière $\mathcal{N}_A = \theta_{\max}$ est non nulle et $q$-stable à $0{,}4\,\%$.
Ouvert. Que le relèvement de spin chiral ne porte que le caractère central hérité, ou une phase spin-Galois additionnelle (un facteur $\sqrt{5}$ ou ADE-spin orthogonal à $\zeta_q$), est l'unique obstruction restante outre [H-WS]. L'AOG-Note montre, en prenant le relèvement chiral lorentzien comme une entrée ([H-Spin] de Q14) et sous [H-WS], sa prémisse de modélisation [M], la prémisse de boost [B] et la convention de phase centrale héritée, que le relèvement n'induit aucune action sur $\sqrt{5}$.
Non dérivé ici. Le splitting $u \neq 0$ lui-même. Cette conclusion requerrait en outre un transport du signal orienté sur le secteur générationnel $J_\Pi$-impair. Le seul transport énoncé dans PRS est l'hypothèse [H-Tr] pour l'ouverture $\mathfrak{sl}_2$, fournie par aucune source, et l'identification du signal de frontière avec cette ouverture est une entrée supplémentaire. CHO fournit la donnée d'amplitude de frontière, conditionnellement ; elle ne court-circuite pas l'étape opératorielle.
Position dans le programme
Cette note appartient au sous-programme matière fermionique (Note de présentation 6). Elle ferme la question du poids chiral laissée ouverte par le diagnostic de frontière orientée Q11 et se connecte avec la réduction PRS (transport de Schur), la A4-Note (marge de saturation Born–Infeld d'une 2-forme fournie ; aucun mécanisme d'amplitude n'est sélectionné), et la AOG-Note (rigidité de type de la strate de spin : sous [H-Spin] (en entrée), [H-WS], [M], la prémisse de boost [B] et la convention de phase centrale héritée, son corollaire pour le relèvement chiral montre que le relèvement chiral lorentzien n'induit aucune action sur $\sqrt{5}$).
Références
Jérôme Beau. Chiral Orientation of the Directed Heisenberg Frontier. Working paper, 2026. 10.5281/zenodo.20735907