Aperçu
Le diagnostic Q11 de frontière orientée produit deux quantités calculables — la moyenne brute du cocycle $\langle \Delta A_c \rangle_{\partial^+} = 0$ et la borne de verrouillage maximal $\theta_{\max} = \langle (2\pi/q)\,|\Delta A_c| \rangle_{\partial^+}$ — et un donnée manquante : le poids chiral $\sigma_L \in \{\pm 1\}$ qui transforme la borne en amplitude via $\Theta_\chi = \langle \sigma_L\,(2\pi/q)\,\Delta A_c \rangle_{\partial^+}$, avec $|\Theta_\chi| \le \theta_{\max}$.
Le backend de frontière ne fournit pas $\sigma_L$ : il s'agit du résidu survivant du relèvement chiral lorentzien. Cette note démontre que $\sigma_L$ ne peut être aucune fonction du générateur de cascade réel $T(e)$ — l'inversion d'arête et la réflexion résiduelle $\varphi$ agissent toutes deux comme $T \mapsto -T$, donc toute $f(T)$ a des parités d'arête et de $\varphi$ égales, alors que $\sigma_L$ doit être pair en arête et impair en $\varphi$. La résolution : $\sigma_L$ est le type de représentation de Weyl, $\mathbf{2}$ versus $\bar{\mathbf{2}}$ : l'inversion de groupe préserve la représentation (pair en arête) tandis que la conjugaison complexe l'échange (impair en $\varphi$).
Dans le relèvement Heisenberg à phase centrale hérité, la phase chirale est le caractère cyclotomique linéaire $\omega_\chi(e) = \zeta_q^{\Delta A_c(e)}$ — sans composante de Gauss, Maslov ou $\sqrt{5}$. Sur le support à cocycle non nul, la branche naturelle satisfait $\sigma_L(e) = \operatorname{sign} \Im\,\zeta_q^{\Delta A_c(e)} = \operatorname{sign} \Delta A_c(e)$, donnant un recouvrement de frontière sortante $\rho_\chi = 1$ et promouvant la borne à $\mathcal{N}_A = \theta_{\max} \neq 0$. Ceci établit $[\mathrm{H\text{-}orient}]$ dans le relèvement à phase centrale hérité, non unconditional.
Contributions principales
- Obstruction de parité : $\sigma_L \neq f(T(e))$. L'inversion d'arête $U(e^{-1}) = U(e)^{-1}$ et la réflexion résiduelle $\varphi = R_b \circ J_\Pi$ envoient toutes deux le générateur de cascade $J_\Pi$-impair $T(e) \mapsto -T(e)$, donc toute fonction de $T$ a des parités d'arête et de $\varphi$ égales ; le $\sigma_L$ admissible est pair en arête et impair en $\varphi$. L'identification globale $\sigma_L = \operatorname{sign} \Delta A_c$ sur toutes les arêtes orientées est donc exclue — elle rend $\sigma_L$ impair en arête et brise le contrôle de réversion $\Theta_\chi^{(\partial^+)^{-1}} = -\Theta_\chi^{\partial^+}$.
- Résolution : type de représentation de Weyl. Le poids chiral $\sigma_L$ est l'étiquette de représentation $\mathbf{2}$ versus $\bar{\mathbf{2}}$. L'inversion de groupe préserve la représentation (pair en arête) et la conjugaison complexe l'échange (impair en $\varphi$) — l'unique étiquette distinguée par la conjugaison qui sépare $\varphi$ de l'inversion d'arête. Pour un relèvement réel la représentation est auto-conjuguée et le contraste chiral s'annule, en accord avec la symétrie chirale de la cascade réelle.
- Relèvement Heisenberg à phase centrale hérité. La phase d'arête est le caractère cyclotomique linéaire $\omega_\chi(e) = \zeta_q^{\Delta A_c(e)}$, sans composante de Gauss, Maslov ou $\sqrt{5}$. Sur le support à cocycle non nul, la branche naturelle donne $\sigma_L(e) = \operatorname{sign} \Delta A_c(e)$ localement, le $\sigma_L$ global étant l'étiquette de représentation qui survit aux contraintes de parité arête/$\varphi$. Recouvrement de frontière sortante $\rho_\chi = 1$ ; $\mathcal{N}_A = \theta_{\max} \neq 0$, $q$-invariant sur $q \in \{61, 101, 151\}$.
- $[\mathrm{H\text{-}orient}]$ fermé dans le relèvement hérité, obstruction résiduelle désormais déchargée. Le résultat établit la donnée d'amplitude de frontière dans le relèvement Heisenberg à phase centrale hérité. La seule obstruction restante — une phase spin-Galois additionnelle hors du caractère central, en particulier un facteur $\sqrt{5}$ ou ADE-spin orthogonal à $\zeta_q$ — est déchargée par le corollaire du relèvement chiral de l'AOG-Note : la même rigidité de type au strate de spin montre que le relèvement chiral lorentzien n'induit aucune action sur $\sqrt{5}$, donc $[\mathrm{H\text{-}orient}]$ tient et $\mathcal{N}_A \neq 0$ inconditionnellement dans la strate de spin actuelle.
- Validation numérique du backend. Moyenne brute exactement nulle, contrôle anti-biais symétrisé exactement nul, $\theta_{\max} \cdot q$ stable sur $q \in \{61, 101, 151\}$. Backend et borne validés ; $\sigma_L$ lui-même n'est fourni que par le relèvement chiral, pas par le backend.
Ce que cette note règle, et ce qu'elle ne règle pas
Réglé. Le poids chiral $\sigma_L$ ne peut être une fonction de $T(e)$ ; il est le type de représentation de Weyl. Dans le relèvement à phase centrale hérité, la donnée d'amplitude de frontière $\mathcal{N}_A = \theta_{\max}$ est non nulle et $q$-invariante.
Clos dans la strate de spin actuelle. Le résultat tient dans le relèvement Heisenberg à phase centrale hérité. L'unique réserve — une phase spin-Galois additionnelle hors de ce caractère central, un facteur $\sqrt{5}$ ou ADE-spin orthogonal à $\zeta_q$ — est déchargée par le corollaire du relèvement chiral de l'AOG-Note : le relèvement chiral lorentzien n'induit aucune action sur $\sqrt{5}$, donc $[\mathrm{H\text{-}orient}]$ tient inconditionnellement dans la strate de spin actuelle, la clôture chirale et le no-go de la porte ADE étant deux coupes opposées d'une seule rigidité de type au strate de spin.
Non dérivé ici. Le splitting $u \neq 0$ lui-même. Cette conclusion requiert encore le transport de Schur de la polarisation sur le secteur générationnel $J_\Pi$-impair (cf. PRS, A4-Note). CHO fournit la donnée d'amplitude de frontière ; elle ne court-circuite pas l'étape opératorielle.
Position dans le programme
Cette note appartient au sous-programme matière fermionique (Note de présentation 6). Elle ferme la question du poids chiral laissée ouverte par le diagnostic de frontière orientée Q11 et se connecte avec la réduction PRS (transport de Schur), la A4-Note (mécanisme de saturation Born–Infeld pour l'amplitude), et la AOG-Note (rigidité de type au strate de spin — son corollaire du relèvement chiral décharge l'obstruction résiduelle de CHO et clôt $[\mathrm{H\text{-}orient}]$ inconditionnellement dans la strate de spin actuelle).
Références
Jérôme Beau. Chiral Orientation of the Directed Heisenberg Frontier. Working paper, 2026. 10.5281/zenodo.20735907