Vue d'ensemble
O30 clôt une direction ouverte de O29 §7.4 en fournissant une dérivation entièrement analytique du rapport spectral [1:½:½] dans la covariance admissible $C_c$ sur $\mathrm{Sym}^2(V_\rho)$.
Le mécanisme central est l'anti-linéarité de parité de Born–Infeld $\rho_{q-c} = \bar{\rho}_c$, qui agit sur la représentation de Weil. Cette contrainte force chaque vecteur trajectoire admissible $w_j = \pi_c(v_j) \in V_\rho \cong \mathbb{C}^2$ à satisfaire la condition équatoriale $|\alpha_j| = |\beta_j|$ : les vecteurs sont confinés à un $S^1$ équatorial $\subset S^3$ dans $V_\rho$.
Dans ce régime équatorial, la composante centrale $\sqrt{2}\,\alpha_j\beta_j$ de $\mathrm{vec}(M_j)$ devient indépendante de la phase (les phases s'annulent exactement), tandis que les composantes diagonales oscillent comme $e^{\pm 2i\varphi_j}$. Sous décorrélation de phase à harmonique unique, la covariance se diagonalise exactement en $C_c = \langle r_j^4 \rangle \cdot \mathrm{diag}(1/4,\, 1/2,\, 1/4)$, donnant le rapport spectral [1:½:½].
Contributions principales
- Contrainte équatoriale par la parité de Born–Infeld : preuve que l'anti-linéarité $\rho_{q-c} = \bar{\rho}_c$ force $|\alpha_j| = |\beta_j|$ pour chaque vecteur trajectoire admissible $w_j \in V_\rho \cong \mathbb{C}^2$, confinant la fibre à un $S^1$ équatorial $\subset S^3$.
- Annulation de phase dans la composante centrale : dans le régime équatorial, $\sqrt{2}\,\alpha_j\beta_j = \tfrac{r_j^2}{\sqrt{2}} e^{i(\varphi_j^+ + \varphi_j^-)}$ avec des phases s'annulant au lieu équatorial, rendant l'entrée hors-diagonale de $\mathrm{vec}(M_j)$ indépendante de la phase.
- Diagonalisation exacte de la covariance : sous décorrélation de phase à harmonique unique, $C_c = \langle r_j^4 \rangle \cdot \mathrm{diag}(1/4,\, 1/2,\, 1/4)$ exactement, avec rapport spectral [1:½:½].
- Origine structurelle du facteur 2 : le rapport de valeurs propres $\lambda_1/\lambda_2 = 2$ est attribué au coefficient de normalisation $1/\sqrt{2}$ du vecteur de base tensoriel symétrique $e_0 = (v_+ \otimes v_- + v_- \otimes v_+)/\sqrt{2}$ de $\mathrm{Sym}^2(V_\rho)$.
- Contrôle asymptotique de la correction : l'écart à la condition équatoriale est $O(q^{-1/2})$ par universalité U1, établissant que le rapport exact [1:½:½] est atteint dans la limite des grands $q$.
- Clôture de O28–O29 §7.4 : ce papier complète la dérivation laissée ouverte dans O29 en fournissant l'identification analytique du mécanisme équatorial.
Le mécanisme équatorial
L'anti-linéarité de parité de Born–Infeld $\rho_{q-c} = \bar{\rho}_c$ est une symétrie structurelle de la représentation de Weil sur $\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$. Son action sur les vecteurs trajectoires $w_j = \pi_c(v_j)$ force les modules des deux composantes complexes $\alpha_j$ et $\beta_j$ à être égaux : $|\alpha_j| = |\beta_j| = r_j/\sqrt{2}$.
Cette contrainte équatoriale a une signification géométrique précise : les vecteurs trajectoires sont confinés à l'intersection de la sphère unité $S^3 \subset \mathbb{C}^2$ avec l'hyperplan $|\alpha| = |\beta|$, qui est un $S^1$ équatorial. La structure fibrée de la covariance admissible est ainsi contrainte à ce lieu de dimension inférieure.
La conséquence clé est que le terme croisé $\sqrt{2}\,\alpha_j\beta_j$ — qui forme la composante centrale de $\mathrm{vec}(M_j)$ — devient indépendant de la phase : au lieu équatorial, les phases $\varphi_j^+$ et $\varphi_j^-$ s'annulent exactement, ne laissant que le module $r_j^2/\sqrt{2}$. Les termes diagonaux, en revanche, portent des phases oscillatoires $e^{\pm 2i\varphi_j}$ qui se moyennent à zéro sous décorrélation de phase.
Le résultat est la covariance exacte $C_c = \langle r_j^4 \rangle \cdot \mathrm{diag}(1/4,\, 1/2,\, 1/4)$, avec rapport de valeurs propres 2:1 entre les composantes centrale et diagonales.
Relation avec le programme Cosmochronie
O30 clôt le manque analytique identifié dans O29 §7.4 concernant le rapport spectral [1:½:½]. Le résultat connecte la parité de Born–Infeld — une symétrie structurelle de la représentation de Weil identifiée en premier dans O18 — directement à la géométrie spectrale de la fibre admissible.
La contrainte équatoriale est une réalisation concrète du principe de non-injectivité : l'anti-linéarité de Born–Infeld réduit la fibre admissible de la $S^3$ complète à un $S^1$ équatorial, encodant une sélection structurelle au niveau de la représentation de Weil. Cette sélection produit un rapport spectral défini [1:½:½] qui n'est pas introduit à la main, mais dérivé de la symétrie de la projection.
Références
Jérôme Beau. Born–Infeld Parity Forces an Equatorial Admissible Fibre: Analytical Derivation of the [1:½:½] Eigenvalue Ratio in Sym²(V_ρ). Preprint. doi:10.5281/zenodo.20014707