Vue d’ensemble
Cet article poursuit le programme d’admissibilité spectrale après la réparation géométrique établie dans O9. Alors que O9 a démontré que les graphes de Cayley de Heisenberg à croissance polynomiale suppriment l’obstruction de compression des coquilles identifiée dans O8, il restait ouvert le premier test réel à grande échelle du comportement de la capacité et l’extraction de l’exposant $\delta$.
O10 réalise cette étape suivante au premier nombre premier de grande taille accessible computationnellement, $q = 101$, sur le graphe de Cayley de $\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$, en utilisant le fingerprint à chemins de permutation à trois pas avec une approximation TensorSketch dense.
Le résultat est mitigé, mais structurellement décisif. Trois signaux positifs sont confirmés à grande échelle : la croissance des boules reste cohérente avec la loi de Bass–Guivarc’h, la capacité moyenne décroît monotoniquement sur une fenêtre pré-saturation visible, et la loi d’état O7 reste valide. Le résultat négatif est tout aussi important : l’ajustement log-log ne fournit pas encore une valeur fiable de $\delta$, non pas parce que le cadre de Heisenberg échoue, mais parce que le TensorSketch dense reste mal aligné avec la structure irréductible du fingerprint.
Contributions principales
- Premier calcul à grand q : implémentation du fingerprint de capacité à chemins de permutation à trois pas sur $\mathrm{Cay}(\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}),S_q)$ à $q = 101$.
- Confirmation de la croissance des boules : récupération numérique de l’expansion polynomiale avec un exposant mesuré $\hat{D} = 3.05$, poursuivant la convergence vers la dimension homogène $D_{\mathrm{hom}} = 4$.
- Signal direct de déplétion projective : décroissance monotone de la capacité moyenne de $23.5\%$ sur une fenêtre pré-saturation de $n^* = 13$ pas BFS.
- Validation de la loi d’état à grande échelle : confirmation que $R_n^{(3)} \approx \Phi(\bar{\eta}_n)$ reste valide à $q = 101$, étendant la vérification de O9 au-delà du régime de petit q.
- Diagnostic d’obstruction algorithmique : démonstration que l’extraction fiable d’une loi de puissance dans $|B_n| \leq q^2$ nécessiterait une dimension de sketch dense $D \gg q^4$, ce qui est computationnellement impraticable.
- Feuille de route des blocs de Weil : identification de la décomposition de $\rho_{\mathrm{aff}}^{\otimes 3}$ en blocs de Weil de dimension $O(q)$ comme la voie correcte vers une extraction tractable de $\delta$ dans l’étape suivante du programme.
Interprétation
O10 montre que le remplacement par Heisenberg introduit dans O9 n’est pas seulement géométriquement pertinent, mais physiquement productif : à grande échelle, le signal projectif est bien présent. La capacité diminue, la loi d’état subsiste, et le fond à croissance polynomiale se comporte comme attendu.
- O8 a montré que la croissance exponentielle des coquilles sur les graphes LPS compresse toute la fenêtre observable.
- O9 a remplacé LPS par des graphes de Heisenberg à croissance polynomiale, restaurant une fenêtre BFS extensible en principe.
- O10 confirme que cette fenêtre restaurée porte un signal projectif réel à grande échelle, mais révèle aussi que le TensorSketch dense est une représentation computationnelle inadaptée pour extraire la pente asymptotique.
- Conclusion : l’obstruction restante n’est plus géométrique. Elle est représentationnelle et algorithmique.
Dans ce cadre, l’exposant de capacité $\delta$ reste une propriété de la dynamique projective sous-jacente plutôt que d’une famille de graphes particulière. Mais sa mesure nécessite non seulement une géométrie non obstructive, comme établi dans O9, mais aussi une représentation du fingerprint alignée avec la structure en blocs irréductibles de l’action de Heisenberg.
Relation au programme Cosmochrony
O10 suit directement O9. L’admissibilité spectrale, la capacité, la rigidité et la stratigraphie définissent l’ossature spectrale de la théorie. O1 restaure l’ordre via la dynamique projective, O3 amplifie la hiérarchie via la croissance de valence, O4 contraint l’exposant de cascade à partir du flux relationnel borné, O5 localise l’échec des mécanismes au niveau des sommets, O6 établit le no-go pour les fingerprints de dimension finie, O7 reformule l’observable en termes de capacité projective, O8 identifie la compression géométrique sur les graphes LPS, et O9 supprime cette compression en passant à la géométrie de Heisenberg à croissance polynomiale.
Le présent article réalise le premier test à grande échelle dans ce cadre réparé. Il confirme que le signal projectif est mesurable, isole le dernier goulot d’étranglement lié au TensorSketch dense, et transmet à O11 l’extraction de $\delta$ dans une représentation adaptée basée sur les blocs de Weil.
Références
Jérôme Beau. Polynomial-Growth Capacity Dynamics at Large q: Ball Growth Confirmation, Capacity Decay, and the Weil Decomposition Roadmap. Preprint.