Vue d'ensemble
O32 fournit la validation numérique de l'hypothèse [H-color] de O31 : la claim que les triplets de couleur $\{c_1, c_2, c_3\} \subset (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*$ avec $c_1+c_2+c_3 \equiv 0 \pmod{q}$ sont co-admissibles sur le graphe de Heisenberg.
Le test est conduit sur des premiers $q \equiv 1 \pmod{3}$ (premiers de test : $q \in \{61, 151, 211, 307\}$) et des premiers de contrôle $q \in \{29, 101\}$. Le plancher de bruit combiné est $\mathrm{ctrl\_ref} = 1.657 \times 10^{-3}$. Les ratios normalisés $R$ quantifient le recouvrement spectral du triplet co-admissible contre la référence de bruit.
Résultats : $R = 2.1$ pour $q=61$ (1/4 triplets valides), $R = 0.4$ pour $q=151$ (4/4 triplets), $R = 1.0$ pour $q=211$ (4/4 triplets), $R = 0.7$ pour $q=307$ (4/4 triplets). Tous les premiers de test satisfont le seuil $R \leq 3$. De plus, $\delta_\mathrm{tri} \approx 3\delta_c$ au niveau sous-pourcent, et la covariance de couleur $C_\mathrm{color}$ est de rang numérique 1 dans tous les cas.
Résultats numériques
- Premiers de test ($q \equiv 1 \pmod{3}$) : $q \in \{61, 151, 211, 307\}$. Premiers de contrôle : $q \in \{29, 101\}$. Plancher de bruit combiné $\mathrm{ctrl\_ref} = 1.657 \times 10^{-3}$.
- $q = 61$ : $R = 2.1$, 1 triplet sur 4 testés satisfait le critère de co-admissibilité. Passe $R \leq 3$.
- $q = 151$ : $R = 0.4$, 4 triplets sur 4 valides. Confirmation claire de [H-color] ; passe $R \leq 3$.
- $q = 211$ : $R = 1.0$, 4 triplets sur 4 valides. Cohérent avec $q=151$ ; passe $R \leq 3$.
- Exposant du triplet : $\delta_\mathrm{tri} \approx 3\delta_c$ au niveau sous-pourcent pour tous les premiers de test, cohérent avec le triplet comme composite triple de l'admissibilité à couleur unique.
- Rang de la covariance de couleur : la matrice $C_\mathrm{color}$ est de rang numérique 1 dans tous les cas testés, soutenant l'identification SU(3) de O31.
- $q = 307$ : 4/4 triplets, $R = 0.7$ (bien en dessous du seuil $R \leq 3$), $\delta_\mathrm{tri} = 12.355 \approx 3\delta_c$ (écart 1.5\%). Jeu de données à quatre premiers complet.
Interprétation
Le passage de tous les premiers de test $R \leq 3$ fournit un soutien numérique à [H-color]. Les résultats les plus concluants sont pour $q = 151$ et $q = 211$, où les quatre triplets testés satisfont le critère de co-admissibilité et le ratio normalisé $R$ est bien en dessous du seuil.
Le résultat $\delta_\mathrm{tri} \approx 3\delta_c$ est structurellement attendu : si les trois charges de couleur $c_1, c_2, c_3$ sont co-admissibles, la décroissance de leur capacité projective conjointe devrait être le produit des trois décroissances individuelles. L'accord au niveau sous-pourcent avec cette prédiction valide la structure de factorisation.
La structure numérique de rang 1 de $C_\mathrm{color}$ est cohérente avec l'identification SU(3) d'O31 : le triplet co-admissible a une covariance admissible unidimensionnelle, correspondant à la direction complexe unique préservée par l'action de SU(3).
Le résultat partiel pour $q = 61$ (1/4 triplets valides) peut refléter des effets de taille finie aux premiers plus petits, ou une distinction réelle entre triplets à ce premier. Les premiers plus grands $q = 151$ et $q = 211$ montrent une co-admissibilité complète des triplets.
Obstruction spectrale et les limites de l'approche de Markov
O31v2 établit un résultat exact pour le graphe standard aux conséquences directes sur la façon dont [H-color] peut être prouvé analytiquement. Le théorème d'isospectralité par torsion du générateur (O31 Théorème 5.3) montre que, pour tout $c \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*$, les opérateurs de Markov $\rho_c(P_{S_q})$ et $\rho_c(P_{\phi_\omega(S_q)})$ sont unitairement conjugués, donc isospectraux.
Cependant, cette isospectralité ne s'étend pas à travers des caractères centraux distincts : les spectres de $\rho_c(P_{S_q})$ et $\rho_{\omega c}(P_{S_q})$ sont génériquement distincts ($\max|\Delta\lambda| \approx 0{,}3$–$0{,}4$, même ordre que les paires non-triplet), confirmé pour tous $q \leq 157$ avec $q \equiv 1 \pmod{3}$. [H-color] sur le graphe standard ne peut pas être dérivé de l'égalité globale des spectres de Markov : la capacité BFS est un observable strictement plus fin, et toute preuve analytique doit agir directement sur la structure de rang de la marche BFS.
Interprétation physique : charges de couleur et structure des quarks
Chaque élément $c_i$ d'un triplet de couleur valide appartient simultanément à une paire conjuguée $\{c_i, q-c_i\}$ (portant le spin-½, $d_\rho = 2$, d'après O29) et à un triplet de couleur (point fixe SU(3) d'après O31). Un secteur individuel $c_i$ porte donc simultanément le spin-½ et une charge de couleur : le contenu en nombres quantiques minimal d'un quark.
La contrainte de somme nulle $c_1 + c_2 + c_3 \equiv 0 \pmod{q}$, issue de la structure d'orbite $\mathbb{Z}_3$, est l'analogue discret de la neutralité de couleur du baryon. La confirmation de [H-color] est donc une étape nécessaire pour identifier les secteurs admissibles individuels comme porteurs de charge de couleur et les triplets de couleur comme structure de pré-image des baryons neutres en couleur.
Relation avec le programme Cosmochronie
O32 est le compagnon numérique de O31. Ensemble, ils fournissent le cadre théorique et les preuves numériques pour l'émergence du groupe de jauge de couleur SU(3) à partir des contraintes d'admissibilité sur le graphe de Heisenberg.
La confirmation de [H-color] alimente directement Q6a (structure de jauge du Modèle Standard) et Q12 (dynamique de Yang–Mills par entropie spectrale projective), où le groupe SU(3) est utilisé comme entrée. Le statut conditionnel de ces résultats en aval se lève partiellement avec la confirmation numérique de [H-color] ; un statut inconditionnel complet requiert la preuve analytique de [H-color], qui reste ouverte.
Précision analytique (v1.3+)
O32 prouve également analytiquement (Proposition avg-hcolor) que pour les profils de capacité moyennés par blocs : \[ \mathbb{E}[\sigma_c(n)] = \mathbb{E}[\sigma_{\omega c}(n)] + O(q^{-1}), \] et de même pour $\omega^2 c$. Cela établit $H_{\mathrm{color,eff}}$ — l'égalité des exposants de capacité en espérance — dans la limite $q \to \infty$.
L'argument procède en montrant que la distribution de fréquences de l'empreinte BFS pour les blocs $c$ et $\omega c$ ne diffère que par un décalage de la fréquence distinguée ($c B_1 \mapsto \omega c B_1$), ce qui préserve la cardinalité des nouvelles fréquences distinctes à chaque profondeur BFS. La correction $O(q^{-1})$ provient du surplus de probabilité sur la fréquence distinguée, accumulé sur une fenêtre de rang de taille $O(q)$.
La décroissance observée $R_\mathrm{var} \propto q^{-1}$ (facteur 5 de $q=61$ à $q=151$) est interprétée comme le biais de modulation à $q$ fini prédit par cet argument. Trois niveaux de l'hypothèse de couleur sont désormais distingués : ponctuel ($H_\mathrm{color,ptwise}$, numérique), en espérance ($H_\mathrm{color,eff}$, analytique), et global ($H_\mathrm{color}$, ouvert).
[H-color] ponctuelle par O31 v1.5
La preuve analytique ponctuelle de [H-color] à $q$ fini fixé, précédemment ouverte, a été résolue dans l'article compagnon O31 v1.5. Chaque vecteur d'empreinte Born–Infeld est montré comme étant un caractère additif unique de fréquence $B = c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3$ (Lemme single-frequency). L'observable de capacité $\sigma_c(n)$ est donc un comptage de fréquences distinctes, et la dilatation d'orbite $B \mapsto \omega B$ la préserve exactement (Proposition hcolor-frequency).
La variance inter-triplet résiduelle $R_\mathrm{var}$ mesurée ici est réinterprétée comme l'empreinte d'échantillonnage fini des tirages auxiliaires indépendants, avec une mise à l'échelle attendue $R_\mathrm{var} \propto q^{-1}$ — cohérente avec la décroissance par facteur 5 observée de $q=61$ à $q=151$. Le point $q = 307$ ($R = 0.7$, 4/4 triplets, $R_\mathrm{var} = 1.17\times10^{-3}$) confirme cette mise à l'échelle.
Références
Jérôme Beau. Colour Triplet Co-admissibility on Heis₃(Z/qZ): Numerical Test of Hypothesis [H-color]. Preprint. doi:10.5281/zenodo.20145607