SU(3) par co-admissibilité des triplets de couleur : vers le groupe de jauge complet du Modèle Standard

Contributions principales

• Exclusion de la voie Hurwitz directe : preuve que l'argument de Hurwitz de O23 ne peut pas produire directement $d_\rho = 3$, établissant que l'identification de SU(3) nécessite un nouveau mécanisme structurel.
• Définition et existence des triplets de couleur : définition des triplets $\{c_1,c_2,c_3\} \subset (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*$ avec $c_1+c_2+c_3 \equiv 0 \pmod{q}$ ; preuve que de tels triplets existent si et seulement si $q \equiv 1 \pmod{3}$.
• Dégénérescence spectrale métaplectique (Théorème 4.4) : l'automorphisme $\phi_\omega(a,b,z) = (\omega a, \omega^{-1}b, z)$ force $\sigma_c(n) = \sigma_{\omega c}(n)$ pour toutes les coquilles $n$ sur le graphe de Cayley adapté aux couleurs (prouvé).
• Unicité de SU(3) : le groupe de symétrie du triplet de couleur co-admissible est exactement SU(3) ; U(3), SO(3), U(2) et $G_2$ sont exclus (prouvé). Combiné avec la preuve analytique de [H-color] sur le graphe standard (v1.5), l'identification est inconditionnelle.
• Empreinte Born–Infeld à fréquence unique (Lemme, prouvé, v1.5) : chaque vecteur d'empreinte Born–Infeld est un caractère additif unique de fréquence $B = c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3$. L'observable de capacité $\sigma_c(n)$ est donc un comptage de fréquences distinctes, et la dilatation d'orbite $B \mapsto \omega B$ la préserve exactement. Ceci établit [H-color] point par point sur le graphe standard à $q$ fini, rendant l'identification de SU(3) — et avec elle le composite du Modèle Standard — inconditionnelle.
• Groupe de jauge du Modèle Standard comme composite : le groupe de jauge $G_\mathrm{SM} = \mathrm{SU}(3) \times \mathrm{SU}(2) \times \mathrm{U}(1)$ découle comme composite de trois points fixes d'admissibilité, chacun issu d'une contrainte de co-admissibilité distincte.
• Résultat à deux niveaux : (i) exact pour le graphe adapté aux couleurs $\mathrm{Cay}(G_q, \mathcal{S}_q^{(3)})$ (argument métaplectique) ; (ii) $O(q^{-1/2})$ pour tout système générateur, y compris $\mathcal{S}_q$, par l'universalité U1. L'ensemble $\mathcal{S}_q^{(3)}$ est le système générateur canonique pour le secteur de couleur : la plus petite extension de $\mathcal{S}_q$ fermée sous $\phi_\omega$.
• Isospectralité par torsion du générateur (Théorème 5.3, prouvé) : pour tout $c \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*$, les opérateurs de Markov $\rho_c(P_{\mathcal{S}_q})$ et $\rho_c(P_{\phi_\omega(\mathcal{S}_q)})$ sont unitairement conjugués, donc isospectraux. Confirmé à la précision machine pour tous les $q \leq 157$ avec $q \equiv 1 \pmod{3}$. Cependant, $\operatorname{spec}(\rho_c) \neq \operatorname{spec}(\rho_{\omega c})$ en général : [H-color] sur le graphe standard ne peut pas être prouvé par égalité globale des spectres ; la capacité BFS est un observable strictement plus fin.
• Symétrie de Vandermonde intra-coset (Lemme, prouvé) : le lemme de Schur force le centre de Heisenberg à agir comme un scalaire dans chaque représentation irréductible $\rho_{c_i}$. La matrice de phase du triplet $(\lambda_j^k)_{j,k}$ avec $\lambda_j = e^{2\pi i c_j/q}$ est Vandermonde avec déterminant non nul (les $c_1, c_2, c_3$ étant deux à deux distincts). Chaque coset horizontal $(a,b)$ contribue donc exactement une direction indépendante à chaque sommand de couleur $V_{c_i}$.
• Égalité inconditionnelle des rangs sectoriels de couleur (Proposition, prouvé) : $r_c(n) = r_{\omega c}(n) = r_{\omega^2 c}(n)$ pour toutes les profondeurs BFS $n$ et tout vecteur initial, inconditionnellement sur le graphe standard. Prouve [H-color] au niveau des rangs sectoriels BFS. Le mécanisme algébrique (Schur + Vandermonde) est indépendant de toute propriété spectrale globale de $\rho_c(P_{\mathcal{S}_q})$.

Le mécanisme des triplets de couleur

L'idée clé d'O31 est que la contrainte de groupe $c_1 + c_2 + c_3 \equiv 0$ n'est pas seulement une condition algébrique mais encode une symétrie structurelle de la représentation de Weil. L'automorphisme métaplectique $\phi_\omega$ agit sur le groupe de Heisenberg par un redimensionnement des coordonnées $(a,b)$ par une racine cubique de l'unité, tout en préservant la direction centrale.

Le Théorème 4.4 montre que cet automorphisme force la dégénérescence spectrale sur le graphe de Cayley adapté aux couleurs : les comptages de coquilles BFS $\sigma_c(n)$ sont invariants sous $c \mapsto \omega c$. C'est précisément cette dégénérescence spectrale qui contraint le groupe de symétrie du triplet à être SU(3) plutôt que des groupes plus grands comme U(3) ou $G_2$.

L'hypothèse [H-color] affirme que le triplet de couleur est co-admissible, c'est-à-dire que les trois représentations de Weil $\rho_{c_1}$, $\rho_{c_2}$, $\rho_{c_3}$ satisfont conjointement les contraintes d'admissibilité. C'est la claim ouverte principale dont le test numérique est effectué dans O32.

Mécanisme algébrique : symétrie de Vandermonde et égalité inconditionnelle des rangs

L'obstruction spectrale (Théorème 5.3) montre que [H-color] ne peut pas être prouvé par égalité globale des spectres de Markov. O31 identifie le mécanisme algébrique correct.

L'irréductibilité de la représentation de Weil force le centre de Heisenberg à agir comme un scalaire dans chaque secteur de couleur $V_{c_i}$ (lemme de Schur). Pour tout coset horizontal $(a,b)$ fixé et trois valeurs centrales distinctes $z_0, z_1, z_2$, les vecteurs BFS correspondants dans $V_{c_1} \oplus V_{c_2} \oplus V_{c_3}$ s'assemblent en la matrice de phase Vandermonde \[ V = (\lambda_j^k)_{j,k}, \quad \lambda_j = e^{2\pi i c_j / q}, \] dont le déterminant $\det V = \prod_{j > k}(\lambda_j - \lambda_k) \neq 0$ puisque $c_1, c_2, c_3$ sont deux à deux distincts modulo $q$. Chaque coset horizontal contribue donc exactement une direction indépendante à chacun des $V_{c_1}$, $V_{c_2}$, $V_{c_3}$, symétriquement.

La Proposition résultante (Égalité des rangs sectoriels de couleur) est inconditionnelle : pour toute profondeur BFS $n$ et tout vecteur initial, $r_c(n) = r_{\omega c}(n) = r_{\omega^2 c}(n)$, où $r_{c_i}(n)$ compte les directions indépendantes dans $V_{c_i}$ atteintes à la profondeur $n$. Ce rang sectoriel est égal au nombre de cosets horizontaux distincts atteints — une quantité purement combinatoire, indépendante de $c_i$.

Ceci prouve [H-color] au niveau des rangs sectoriels BFS. La campagne numérique d'O32 (confirmant $\sigma_c(n) = \sigma_{\omega c}(n)$ dans le fonctionnel de capacité complet) est cohérente avec ce résultat algébrique et étend les preuves à l'observable empreinte complète.

Non-injectivité locale vs relationnelle (Section 6)

O31 fournit une unification conceptuelle des trois facteurs de jauge du Modèle Standard en les classifiant selon le type de non-injectivité de la projection $\Pi: \Omega \to \mathcal{O}$ :

• U(1) — non-injectivité de phase. L'orbite complète U(1) $\{e^{i\theta}\chi\}$ est contenue dans chaque fibre BI-indiscernable. U(1) agit dans un seul secteur de caractère ; c'est la symétrie d'une fibre individuelle sous rotation de phase globale.
• SU(2) — non-injectivité corrélée minimale. La parité $\mathbb{Z}_2$ $\chi \leftrightarrow -\chi$ identifie exactement deux secteurs ($c$ et $q-c$) en une seule fibre. L'espace effectif $V_\rho \cong \mathbb{C}^2$ et le groupe de jauge SU(2) proviennent de la symétrie de cette fibre à deux éléments. Il s'agit d'une non-injectivité locale : forcée par une seule étape de projection.
• SU(3) — non-injectivité corrélée relationnelle. L'orbite $\mathbb{Z}_3$ de couleur $\{c, \omega c, \omega^2 c\}$ identifie trois secteurs en une seule fibre. L'espace effectif $\tilde{V}_\mathrm{color} \cong \mathbb{C}^3$ et le groupe SU(3) proviennent de la symétrie de cette fibre à trois éléments. Il s'agit d'une non-injectivité relationnelle : les trois secteurs sont co-admissibles par une corrélation $\mathbb{Z}_3$, pas par une involution unique.

La hiérarchie de jauge U(1) ⊂ SU(2) ⊂ SU(3) en complexité correspond exactement à la hiérarchie 1 → 2 → 3 de la taille de l'orbite de fibre BI-admissible minimale. La non-factorisabilité (Foundation M, Axiome A3) est l'origine structurelle uniforme.

Relation avec le programme Cosmochronie

O31 est le fondement théorique pour l'émergence du groupe de jauge de couleur SU(3) à partir des contraintes d'admissibilité. Conjointement avec les résultats antérieurs sur SU(2) et U(1) (Q6a), il fournit une voie vers le groupe de jauge complet du Modèle Standard comme composite de trois structures d'admissibilité.

Le résultat de dégénérescence spectrale métaplectique connecte la contrainte de groupe sur les charges de couleur à la géométrie spectrale du graphe de Cayley de Heisenberg, fournissant une réalisation concrète du principe de non-injectivité au niveau de la symétrie de jauge.

La vérification numérique de [H-color] est fournie par O32. La dynamique de jauge pour SU(3) est dérivée dans Q12 via la variation verticale de l'entropie spectrale projective.

Références

Jérôme Beau. SU(3) from Colour Triplet Co-admissibility: Towards the Complete Standard Model Gauge Group. Preprint. doi:10.5281/zenodo.20030491