Complétion quadratique des paires spectrales admissibles via la représentation binaire icosaédrique

Publication Zenodo actuelle : version 2.1 (2026-09-17). Titre officiel : Quadratic Completion of Admissible Spectral Pairs via Binary-Icosahedral Representation.

Vue d’ensemble

Après la consolidation numérique de O25, O26 traite la question structurelle suivante : quelle est la nature mathématique intrinsèque de l’observable de paire ?

L’objectif central est : identifier $\sigma_{\mathrm{pair}}(n)$ comme un objet quadratique canonique dans un espace de représentation.

Le papier construit un dictionnaire entre blocs de Weil conjugués et coefficients matriciels, et établit une équivalence des exposants de croissance avec une norme de Hilbert–Schmidt dans le régime pré-saturation.

Niveau I (prouvé) : équivalence des exposants de croissance dans le régime pré-saturation
Niveau II (conjectural) : identification quotient, normalisation indépendante de la profondeur ouverte
Niveau III : identification canonique (conditionnelle)

Portée. Interprétation représentationnelle, hiérarchie d’identification et portée des diagnostics sur des porteurs fournis ou conjecturés.

Statut de l’hypothèse de plongement. L’hypothèse 4.4, le plongement admissible canonique des vecteurs de paire dans $V_\rho$, reste ouverte. O27 fournit une lecture conditionnelle du secteur adjoint sous le porteur fourni d’O23 et l’hypothèse de saturation admissible d’O27 ; il ne fournit pas le relèvement vectoriel requis. Une réalisation équivariante se factorisant par la représentation adjointe est exclue, puisque $\mathrm{Hom}_{\mathfrak{su}(2)}(\mathbf{3},\mathbf{2}) = 0$ ; un relèvement linéaire non équivariant se factorisant par le quotient ne l’est pas. La dernière flèche de la chaîne d’implication est le porteur fourni conditionnellement, et non une conséquence des trois contraintes.

Contributions principales

Dictionnaire représentationnel explicite
Identification via norme de Hilbert–Schmidt
Hiérarchie en trois niveaux
Lecture conditionnelle d’un secteur SU(2) admissible
Portée des diagnostics : les Tests 1 et 2 sont des contrôles d’implémentation ; Test 1 vaut par construction pour des vecteurs quelconques. Test 4 sur les données existantes mesure une covariance dans $\mathrm{End}(H_{\mathrm{eff}})$, pas dans $\mathrm{End}(V_\rho)$. Le tableau de décision plongé exige le plongement ouvert ; les mesures O28/O29 n’en occupent aucune ligne.
Borne du carré symétrique (proposition 4.7) : sous l’hypothèse 4.4(a), avec conjugaison dans une base fixe, les produits du niveau III valent $uu^{\mathsf T}$. Leur espace engendré a une dimension au plus $d(d+1)/2$, donc 3 pour $d=2$. La cible de rang 4 est exclue sous ce contrat ; les autres plongements restent ouverts.

Interprétation

O26 propose une interprétation conditionnelle de l’observable de paire comme objet quadratique canonique. Cette lecture exige la proportionnalité indépendante de la profondeur conjecturée au niveau II et le plongement admissible du niveau III ; ni l’une ni l’autre n’est établie.

Prouvé : équivalence des exposants de croissance pré-saturation avec une norme de Hilbert–Schmidt
Perspective conditionnelle : identification à une norme canonique sous ces prémisses supplémentaires

Cela suggère que $\beta^*$ pourrait admettre une interprétation en théorie des représentations, qui reste à établir.

Résultat actuel et directions ouvertes

Validation du niveau III : construire ou tester le plongement admissible $\Phi_{q,\rho}$, qui reste ouvert.
Dimension effective : construire le plongement avant de mesurer sa covariance dans $\mathrm{End}(V_\rho)$. Les rangs existants sont mesurés dans $\mathrm{End}(H_{\mathrm{eff}})$ : trois est modal, avec des exceptions sensibles à la graine de 4 à 9 à $q=101$ et de 5 à $q=211$. Ces rangs n’identifient pas $V_\rho$ ; $d_\rho=2$ est une sélection par minimalité.
Universalité : vérifier la cohérence entre nombres premiers et paires.
Lien analytique : dériver $\beta^*$ à partir de la structure des représentations.

Référence

Jérôme Beau. Quadratic Completion of Admissible Spectral Pairs via Binary-Icosahedral Representation.