Vue d'ensemble
Cet article poursuit le programme d'admissibilité spectrale après O24. O16–O24 avaient établi l'observable canonique de paire et sa stabilité de rang sous non-injectivité verticale. La chaîne auparavant ajoutée \[ c_\chi \to \delta_{\mathrm{pair}} \to \beta^* \] n'est pas close : l'application réciproque vers \(\beta^*\) importe une loi de croissance LPS à degré variable dans une cascade de Heisenberg à degré fixe et n'y possède aucun porteur natif. Restait ouverte la question numérique : l'exposant \(\delta_{\mathrm{pair}}\) est-il stable sur toutes les paires conjuguées, et qu'est-ce qui contrôle sa variation résiduelle avec \(q\) ?
L'objectif central de O25 est : de tester la statistique sur chaque paire conjuguée et sur une plage de nombres premiers fortement élargie, en séparant la concentration à \(q\) fixé de l'asymptotique inter-premiers encore indéterminée.
L'observation clé est que l'extrapolation directe en \(q\) est trompeuse du point de vue structurel. La correction dominante à taille finie n'est pas contrôlée par \(q\) seul, mais par la profondeur de la fenêtre BFS \[ n_1(q), \] dont le rapport à \(q\) n'a pas encore stabilisé sur la plage testée. En conséquence, plusieurs lois asymptotiques empiriques ajustent très bien les mêmes données tout en prédisant des limites incompatibles.
O25 effectue donc une campagne complète paire-niveau, mesure la concentration inter-paires de \(\delta_{\mathrm{pair}}\), et identifie \[ n_1(q)/q \] comme variable candidate de contrôle de la fenêtre finie.
Contributions principales
- Première campagne complète paire-niveau : O25 calcule \(\delta_{\mathrm{pair}}\) sur l'ensemble des \((q-1)/2\) paires conjuguées \((c,q-c)\) pour chaque nombre premier testé jusqu'à \(q=211\). Les extensions utilisent 24 paires représentatives à \(q=307\), puis 12 à chacun de \(q=401,601\).
- Concentration inter-paires : dans la campagne exhaustive, l'écart-type décroît de \(0.54\) à \(q=29\) à \(0.109\) à \(q=211\), montrant que \(\delta_{\mathrm{pair}}\) n'est pas une fluctuation de bloc mais un invariant structurel de la représentation.
- Dégénérescence des extrapolations : des formes telles que \[ \delta_\infty+\frac{a}{\log q},\qquad \delta_\infty+\frac{a}{(\log q)^2},\qquad \delta_\infty+\frac{a}{q^\alpha} \] ajustent toutes bien les données accessibles tout en donnant des limites asymptotiques incompatibles.
- Diagnostic de fenêtre finie : le contrôle candidat se comporte comme \[ \frac{\log q}{\log n_1(q)} \approx 1, \] sur les fenêtres accessibles. Cela n'identifie pas une loi asymptotique unique.
- Correction de normalisation : l'application de la correction O14 \[ \delta_{\mathrm{corr}}(q)= \delta_{\mathrm{pair}}(q)-\eta\frac{\log q}{\log n_1(q)} \] avec \(\eta=1/2\) était utile à petit \(q\), mais l'extension aux grands nombres premiers montre qu'elle finit par surcorriger sous la fenêtre admissible. L'exposant brut atteint \(7{,}61\) à \(q=601\) sans cette correction.
- Variable asymptotique candidate : O25 isole \[ n_1(q)/q \] comme quantité à suivre explicitement, sans prouver une limite asymptotique unique.
Interprétation
O25 sépare deux effets que les étapes précédentes confondaient.
- À \(q\) fixé : la statistique se concentre entre paires conjuguées.
- Entre nombres premiers : l'exposant brut entre dans la fenêtre admissible, mais les données n'identifient pas une asymptote unique.
Le point crucial est que l'observable mesuré dépend de la géométrie BFS via la fenêtre de fit \([n_0,n_1]\). Puisque le rapport \(n_1(q)/q\) n'a pas encore stabilisé sur la plage accessible, l'observable reste pré-asymptotique même lorsque les fits numériques semblent excellents.
Autrement dit, l'article déplace la question asymptotique :
- d'une extrapolation directe en \(q\)
- vers un contrôle analytique de la géométrie interne de la fenêtre
- d'une variable de fit naïve
- vers la variable structurellement correcte \(n_1(q)/q\)
Relation au programme Cosmochrony
O25 occupe le pendant numérique de O24 dans la série O. Après la construction fibre-niveau de l'observable (O16–O19), le cadre de persistance et de saturation intrinsèque (O20–O21), le verrouillage sur shell (O22), la dérivation du seuil (O23) et la stabilité du rang sous non-injectivité (O24), O25 montre que l'exposant mesuré se comporte exactement comme attendu une fois la structure de normalisation prise en compte.
La séquence s'écrit désormais : O16 (observable paire), O17 (dynamique de paire), O18 (covariance de paire, identification de fibre ouverte), O19 (normalisation canonique), O20 (critère de persistance), O21 (rang de saturation intrinsèque), O22 (verrouillage projectif), O23 (dimension seuil), O24 (stabilité du rang), O25 (campagne complète paire-niveau et structure de normalisation).
Après O25, la concentration inter-paires à \(q\) fixé est établie. L'asymptote inter-premiers, un transfert capacité-taux natif au porteur de Heisenberg et le rôle de \(n_1(q)/q\) restent ouverts.
Résultat actuel et directions ouvertes
O25 établit que \(\delta_{\mathrm{pair}}\) est numériquement robuste et fortement concentré sur les paires conjuguées, et que l'extrapolation naïve en \(q\) n'est pas une manière pertinente d'inférer \(\delta_\infty\).
Restent ouvertes les directions suivantes :
- Rapport asymptotique \(n_1(q)/q\) : déterminer si ce rapport se stabilise, et vers quelle constante \(\alpha\).
- Corrections sous-dominantes : dériver la dépendance subleading de \(\bar{\delta}_{\mathrm{pair}}(q)\) une fois \(n_1(q)=\alpha q+O(q^\beta)\) connu.
- Correction O14 : expliquer pourquoi l'ancienne correction \(\eta=1/2\) surcorrige à grand \(q\).
- Campagne grand-\(q\) : étendre le calcul systématique au-delà de \(q=601\).
- Complétion analytique : déterminer \(\delta_\infty\) à partir de la structure de \(\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})\), et non par extrapolation numérique directe.
Référence
Jérôme Beau. Campagne systématique paire-niveau pour \(\delta_{\mathrm{pair}}\) : convergence, concentration inter-paires et structure de normalisation.