Vue d'ensemble
Cet article poursuit le programme d'admissibilité spectrale après O12, qui a mesuré la capacité projective exacte par bloc $\Sigma_n^{(c)} = \Delta r_n^{(c)} / |S_n|$ à $q \in \{29,53,61\}$ et dérivé exactement son exposant asymptotique intrinsèque, $\delta_{\mathrm{exact}} = 3$, comme conséquence sous forme close de la dépendance exacte de l'observable en une paire projective $(\alpha,\beta)$.
O13 étend le calcul exact à $q \in \{101,151,211\}$, la mesure à $q=211$ étant traitée comme une extension de robustesse sous couverture BFS réduite, et analyse à la fois le comportement de convergence et la structure de variance des pentes ajustées à $q$ fini.
La séquence d'exposants $\hat\delta_{\mathrm{exact}} = 4{,}42, 4{,}80, 4{,}51, 4{,}27, 3{,}59$ à $q \in \{29,61,101,151,211\}$ montre une décroissance monotone stricte à partir de $q=61$, tandis que la qualité de mesure s'améliore systématiquement : la fenêtre d'ajustement s'allonge de 4 à 11 points, la variance inter-blocs chute de $V_n^{\max}=5{,}20$ à $0{,}30$, et $R^2 > 0{,}993$ tout du long. Aucune stratégie d'ajustement sur cette plage ne produit $\delta_\infty > 5{,}0$, conformément à la valeur exacte sous forme close de O12, $\delta_\infty = \delta_{\mathrm{exact}} = 3$.
Contributions principales
- Calcul exact étendu : O13 étend l'analyse exacte par blocs de Weil de O12 à $q = 101$ et $151$, avec $q = 211$ ajouté comme extension de robustesse sous couverture BFS réduite.
- Absence de dérive ascendante : la séquence d'exposants exacts $\hat\delta_{\mathrm{exact}} = 4{,}42, 4{,}80, 4{,}51, 4{,}27, 3{,}59$ montre une décroissance stricte à partir de $q = 61$, conformément à la valeur asymptotique exacte dérivée dans O12.
- Amélioration de la qualité de mesure : la fenêtre d'ajustement passe de 4 à 11 points, la variance inter-blocs chute de $V_n^{\max}=5{,}20$ à $0{,}30$, et $R^2 > 0{,}993$ tout du long.
- Universalité bloc par bloc : la condition (E2) est satisfaite pour $q \geq 151$, si bien que l'exposant extrait devient une propriété des blocs exacts individuels, non seulement de leur moyenne.
- Loi d'échelle de la variance : la variance inter-blocs de pic suit la loi empirique $V_n^{\max}(q) \approx 754\,q^{-1{,}41}$, montrant que l'hétérogénéité des blocs décroît rapidement quand le nombre premier augmente.
- Cohérence avec la valeur asymptotique exacte : aucune stratégie d'ajustement sur la plage testée ne produit $\delta_\infty > 5{,}0$, conformément au résultat sous forme close dérivé indépendamment par O12, $\delta_{\mathrm{exact}} = 3$.
Interprétation
O13 montre que les pentes ajustées à $q$ fini identifiées dans O12 se comportent exactement comme devraient se comporter des statistiques de transition : à mesure que les fenêtres d'ajustement s'allongent et que la variance diminue, l'exposant ajusté ne se stabilise pas à sa plus grande valeur observée. Il décroît, en suivant la valeur asymptotique exacte dérivée indépendamment dans O12.
- O11 a établi l'observable proxy par blocs de Weil et trouvé un exposant de décroissance autour de $\hat\delta_{\mathrm{cap}} \approx 3{,}39$.
- O12 a remplacé le proxy par la projection exacte de Weil, mesuré des pentes à $q$ fini $\hat\delta_{\mathrm{exact}} \approx 4{,}3$–$4{,}8$, et dérivé exactement l'exposant asymptotique intrinsèque, $\delta_{\mathrm{exact}}=3$.
- O13 teste si les pentes à $q$ fini dérivent vers une valeur plus grande aux premiers plus grands, et trouve au contraire qu'elles décroissent, conformément à la valeur exacte de O12.
La coordonnée centrale $\gamma$, déjà montrée inerte algébriquement pour cet observable dans O12, ne joue aucun rôle dans cette tendance : la décroissance est une signature directe de la convergence des statistiques de transition à $q$ fini vers l'asymptote exacte sous forme close.
Relation avec le programme Cosmochronie
O13 suit directement O12. Admissibilité spectrale, capacité, rigidité et stratigraphie définissent l'ossature spectrale de la théorie. O1 restaure l'ordre via la dynamique projective, O3 amplifie la hiérarchie via la croissance de valence, O4 contraint l'exposant de cascade par le flux relationnel borné, O5 localise l'échec des mécanismes au niveau sommet, O6 démontre le no-go pour les fingerprints de dimension finie fixe, O7 reformule l'observable en termes de capacité projective, O8 identifie la compression géométrique sur les graphes LPS, O9 supprime cette compression en passant à la géométrie de Heisenberg à croissance polynomiale, O10 isole le goulot d'étranglement des sketches denses, O11 restaure l'observabilité au niveau proxy de la représentation, et O12 met en œuvre l'observable exact par blocs de Weil.
Le présent article étend la mesure à $q$ fini de O12 et confirme, sur une plage de nombres premiers plus large et avec une qualité de mesure croissante, la valeur asymptotique que O12 dérive indépendamment sous forme close. La question distincte de la relation entre l'exposant de capacité au niveau bloc et l'exposant de cascade $\beta^*$ est traitée en aval, à partir de O15.
Résultat actuel
La séquence d'exposants exacts mesurée sur $q \in \{29,61,101,151,211\}$ décroît monotonement à partir de $q=61$ et ne dépasse $\delta_\infty > 5{,}0$ sous aucune stratégie d'ajustement testée — en cohérence directe avec la valeur asymptotique exacte sous forme close dérivée indépendamment dans O12, $\delta_{\mathrm{exact}} = 3$.
La question distincte de la relation entre cet exposant de capacité au niveau bloc et l'exposant de cascade $\beta^*$ n'est pas résolue en étendant davantage la plage de nombres premiers ; elle est traitée structurellement à partir de O15.
Références
Jérôme Beau. Asymptotic Stability of Exact Weil-Block Capacity on Heisenberg Graphs: Extended Prime Range, Variance Reduction, and Requalification of the δ–β* Tension. Preprint.