Vue d’ensemble
Cet article poursuit le programme d’admissibilité spectrale après le diagnostic algorithmique établi en O10. Alors que O10 confirmait que les graphes de Cayley de Heisenberg à croissance polynomiale restaurent une fenêtre de pré-saturation observable, il montrait également que les fingerprints TensorSketch denses restent mal alignés avec la structure irréductible de la dynamique projective.
O11 franchit l’étape suivante en remplaçant ce schéma dense par un proxy adapté à la représentation, inspiré de la décomposition de Weil. La construction repose sur des canaux de Fourier bidimensionnels génériques agissant sur les coordonnées abélianisées $(a,b)$ des triplets d’extrémités dans $\mathrm{Heis}_3(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$, ainsi que sur un observable de capacité incrémentale par bloc.
Le résultat est la première extraction stable à grand $q$ d’un exposant de décroissance dans ce cadre. Pour $q \in \{101,151,211,307\}$, la capacité moyenne par bloc présente une loi de décroissance nette en régime de pré-saturation, une faible variance inter-canaux sur la fenêtre ajustée, et un exposant convergent proche de $3.4$ aux plus grands premiers testés.
Contributions principales
- Observable adapté à la représentation : remplacement du TensorSketch dense par un proxy bidimensionnel indexé par des sextuplets génériques $(\tau,\sigma) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^6$.
- Définition incrémentale : introduction de $\Sigma_n^{(\tau,\sigma)} = \Delta r_n^{(\tau,\sigma)} / |S_n|$, mesurant la nouveauté effective apportée par chaque couche BFS.
- Régime de décroissance stable : observation directe d’une fenêtre log-log monotone sur tous les premiers testés.
- Extraction multi-premiers : exposants $\hat{\delta}_{\mathrm{cap}} = 5.78,\ 4.29,\ 3.33,\ 3.39$, avec convergence à grand $q$.
- Qualité des ajustements : régressions robustes avec $R^2 > 0.94$ et $R^2 = 0.987$ à $q = 307$.
- Variance contrôlée : validation de la condition (B2) dans la fenêtre utile, garantissant la cohérence inter-canaux.
- Résultat clé : extraction d’un exposant de décroissance convergent proche de $3.4$ au niveau proxy.
Interprétation
O11 montre que l’obstruction restante identifiée en O10 ne provient pas du cadre de Heisenberg, mais du choix de représentation du fingerprint. Une fois l’observable aligné avec la structure par blocs de la dynamique, le régime asymptotique devient visible numériquement.
- O8 : compression géométrique sur graphes LPS.
- O9 : restauration d’une fenêtre via Heisenberg.
- O10 : obstruction algorithmique des sketches denses.
- O11 : résolution par proxy adapté à la représentation.
- Conclusion : la fenêtre observable est désormais ouverte à la fois géométriquement et représentationnellement.
L’exposant mesuré caractérise non pas une croissance cumulative, mais la vitesse à laquelle les nouvelles couches BFS deviennent redondantes relativement au sous-espace déjà exploré.
Relation au programme Cosmochrony
O11 suit directement O10 et complète la chaîne : O6 (no-go), O7 (capacité), O8 (obstruction géométrique), O9 (réparation), O10 (obstruction algorithmique), O11 (résolution par représentation adaptée).
Il constitue la première étape où l’exposant devient effectivement mesurable, ouvrant la voie à une implémentation exacte des blocs de Weil (O12).
Références
Jérôme Beau. Weil-Block Projective Capacity on Heisenberg Graphs: Representation-Adapted Extraction of the Decay Exponent.