Présentation
Cet article complète le cadre de géométrie spectrale elliptique par une dynamique lorentzienne et causale des perturbations de la métrique effective. À partir de la fonctionnelle d’entropie spectrale projective $S_\Pi[g]=\tfrac12\log\det' A_g$, le papier introduit un opérateur normalement hyperbolique $D_g$ dont la restriction spatiale reproduit l’opérateur elliptique $A_g$ sur des tranches de temps constant.
L’action spectrale lorentzienne est définie par $S_\Pi^{(L)}[g]=\tfrac12\,\mathrm{Re}\,\log\det' D_g$, ou de manière équivalente via une prescription de Schwinger–Keldysh, de sorte que l’inverse intervenant dans $\delta^2 S_\Pi^{(L)}$ soit l’opérateur de Green retardé $G_R$. Cela garantit un noyau quadratique réel et une propagation causale.
Contributions principales
- Complétion lorentzienne : un opérateur hyperbolique $D_g$ dont le bloc spatial reproduit l’opérateur elliptique $A_g$ dans une réduction quasi-statique $3+1$.
- Noyau quadratique causal : $S_\Pi^{(L)}=\tfrac12\,\mathrm{Re}\,\log\det' D_g$ (ou Schwinger–Keldysh) implique un inverse retardé $G_R$ dans $\delta^2 S_\Pi^{(L)}$.
- Théorème de propagation infrarouge : pour $R\ell_\chi^2\ll1$ et $\omega\ll\ell_\chi^{-1}$, exactement deux modes tensoriels TT d’hélicité $\pm2$ se propagent ; les secteurs scalaire et vectoriel restent non dynamiques.
- Séparation des pôles ultraviolets : les termes à dérivées d’ordre supérieur génèrent un pôle supplémentaire en $k^2\sim\ell_\chi^{-2}$ qui se découple dans la fenêtre infrarouge observable.
- Dispersion fixée spectralement : $\omega^2=c^2k^2-\gamma\ell_\chi^2k^4+O(k^6)$ avec $\gamma=1/(180\zeta)$ et $\zeta=O(1)$ ; dans le schéma spectral naturel, $\gamma=1/30$.
Action spectrale lorentzienne
La complétion lorentzienne repose sur une prescription causale : $S_\Pi^{(L)}[g]=\tfrac12\,\mathrm{Re}\,\log\det' D_g$, formulée de manière équivalente sur un contour de Schwinger–Keldysh, de sorte que les variations fonctionnelles impliquent l’opérateur de Green retardé $G_R$. Ce choix rend le noyau quadratique réel et impose un support causal $G_R(x,y)=0$ lorsque $x\notin J^+(y)$.
Dans une décomposition $3+1$, $\Box_g$ se réduit à $-\partial_t^2+\Delta_\gamma$ en régime quasi-statique, et l’opérateur elliptique de la théorie riemannienne est retrouvé comme bloc spatial de l’opérateur lorentzien.
Spectre infrarouge et polarisations
En linéarisant $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ et en imposant la jauge harmonique, la décomposition SVT montre que les composantes scalaires et vectorielles restent contraintes en infrarouge. Le secteur TT obéit à un opérateur d’onde factorisé de la forme $c_{EH}\Box+\beta\Box^2$, donnant un pôle gravitationnel sans masse standard et un pôle supplémentaire en $k^2\sim\ell_\chi^{-2}$. Pour $\omega\ll\ell_\chi^{-1}$, seul le pôle sans masse est accessible, et le contenu en polarisations coïncide avec celui de la relativité générale (deux modes d’hélicité $\pm2$).
Dispersion et contraintes observationnelles
Le secteur en carré de Weyl fixé par le coefficient de Seeley–DeWitt $a_4$ induit une correction universelle en $k^4$ à la relation de dispersion : $\omega^2=c^2k^2-\gamma\ell_\chi^2k^4+O(k^6)$ avec $\gamma=1/(180\zeta)$. Cela se mappe directement sur la paramétrisation LVK $\omega^2=c^2k^2+A_4k^4$, conduisant à la borne $\ell_\chi\lesssim\sqrt{180\,\zeta\,A_4^{\mathrm{obs}}}$, et $\ell_\chi\lesssim\sqrt{30\,A_4^{\mathrm{obs}}}$ dans le schéma naturel.
L’opérateur caractéristique reste luminal à l’ordre dominant, tandis que les déviations de vitesse de groupe sont supprimées par un facteur $(k\ell_\chi)^2$ dans le régime observationnel.
Lien avec le programme Cosmochrony
Cet article est formulé comme une complétion autonome de l’approche par entropie spectrale. Il se relie au programme Cosmochrony plus large par l’échelle pré-géométrique $\ell_\chi$ et la réponse d’Einstein en infrarouge, mais il est conçu pour être évalué indépendamment de la construction complète du substrat.
Référence
Jérôme Beau. Causal Propagation and Gravitational Waves from Projective Spectral Dynamics. Prépublication. 10.5281/zenodo.18826644