La relation de Koide des leptons chargés comme contrainte de dispersion unité

$Q_\ell = (1 + \mathrm{CV}(r_\ell)^2)/3$ — la relation de Koide équivaut à une dispersion relative unité des racines de masses, $\mathrm{CV}(\sqrt m) = 1$ (écart-type égal à la moyenne).

Lire le preprint DOI : 10.5281/zenodo.21109812

Aperçu

Cette note-source fixe la cible phénoménologique du secteur de masse des leptons chargés du sous-programme matière fermionique sous la forme d'un unique invariant sans échelle. En écrivant le vecteur des racines de masses $r_\ell = (\sqrt{m_e}, \sqrt{m_\mu}, \sqrt{m_\tau})$, le quotient de Koide vaut exactement $Q_\ell = (1 + \mathrm{CV}(r_\ell)^2)/3$ avec $\mathrm{CV} = \sigma_r/\bar r$, de sorte que $Q_\ell = 2/3 \iff \mathrm{CV}(r_\ell) = 1$ : les racines de masses ont un écart-type égal à leur moyenne.

C'est plus net que « pourquoi $3477$ » ou « pourquoi $45^\circ$ », et cela sépare le contenu intrinsèque de dispersion de Koide de la hiérarchie. La note ne dérive pas les masses ; elle isole un invariant-cible, et consigne où la cascade projective ne l'atteint pas et ce qu'exigerait une dérivation entropique.

Portée. Cette page fournit un résumé structuré. La référence technique faisant foi est le preprint lié ci-dessus.

Résultat principal

Dispersion et hiérarchie

La relation ne fixe que la dispersion relative ; elle ne dit pas quelle génération est légère. Dans la paramétrisation cyclique $r_g = \bar r\,(1 + \sqrt2\,\cos(\delta + 2\pi g/3))$, la condition $Q_\ell = 2/3$ fixe l'amplitude $\sqrt2$ pour toute phase $\delta$, tandis que $\delta$ place les générations par rapport aux nœuds du profil des racines (zéros de $1 + \sqrt2\cos\phi$ à $135^\circ, 225^\circ$). La grande hiérarchie apparaît lorsqu'une génération est proche d'un nœud — pour les masses observées, l'électron se trouve à environ $2{,}6^\circ$ du nœud à $135^\circ$, de sorte que $\sqrt{m_e}$ est presque annulé par interférence. Les deux cibles sont donc distinctes : $\mathrm{CV}(\sqrt m) = 1$ (Koide, sans échelle) et le placement nodal de $\delta$ (la hiérarchie concrète), cette dernière étant le résidu le plus dur, exponentiellement sensible.

Obstruction de l'échelle-cascade

Les niveaux de génération projetés sont lus comme l'échelle épinglée $(1, \tfrac12 + u, \tfrac12 - u)$, prise ici par hypothèse comme forme normale : la lecture du carré du résidu sur le triplet passe par une application de lecture qu'aucune source ne dérive et que les notes de Schur et de la ligne prennent comme hypothèse. Sous cette hypothèse, la dispersion est bornée par $\mathrm{CV} \le 1/\sqrt2$. Mais cela borne les niveaux statiques (leurs racines donnent $\mathrm{CV}(r_\ell) \in [0{,}09,\,0{,}37]$ à $u = 1/10$, $\lambda_Y$ se simplifiant), pas les masses physiques : la masse physique porte, au-delà des niveaux, l'amplification de profondeur de la cascade, $m_g = \lambda_Y\,w_g\,S_g\,A(n_g)$ avec $A(n_g) = e^{\beta^\ast n_g}$, donc son coefficient de variation est fixé par les profondeurs, non plafonné par l'échelle. Présenter la borne de l'échelle comme l'obstruction à $\mathrm{CV} = 1$ confondrait les niveaux et la masse. Dans la réalisation actuelle (par profondeur) du corpus, les profondeurs forcées $O(1)$ ne donnent ni la dispersion unité ni la hiérarchie — mais c'est une limite de cette réalisation, pas une obstruction fondamentale. La dispersion unité serait plutôt portée par une saturation agissant sur les capacités des types-observables résolus (une coïncidence singlet–doublet du verrouillage A4, une complétion Born–Infeld conditionnelle), une arène pas encore construite mais non interdite.

Lecture entropie maximale (test ouvert)

Le coefficient de variation unité, $\sigma_r = \bar r$, est la signature de l'exponentielle — la distribution d'entropie maximale sur $\mathbb{R}_+$ à moyenne fixée. Le point crucial n'est pas l'existence d'une entropie mais la contrainte : seule une condition sur le premier moment de $\sqrt m$ donne $\mathrm{CV} = 1$. Fixer plutôt la norme quadratique naturelle $\langle m \rangle$ donne la valeur demi-normale $\mathrm{CV} = 0{,}756$ ; fixer le support donne la valeur uniforme $\mathrm{CV} = 0{,}577$. Atteindre $\mathrm{CV} = 1$ exige de fixer la somme linéaire $\langle \sqrt m \rangle$ seule. Un point d'ancrage structurel le rendrait naturel : la projection non injective combine le contenu de fibre linéairement, $\nu(o) = \sum_{\text{fibre}} \mu$, donc si $\sqrt m$ est ce contenu de fibre sommé linéairement, son total est la donnée conservée et la contrainte de premier moment est forcée.

Un verrou de la route continue seulement. Sur la route entropie-maximale continue, même en accordant la contrainte, $\mathrm{CV} = 1$ est une propriété de l'exponentielle continue et trois masses discrètes n'en héritent pas (maximiser l'entropie des trois poids discrets à somme fixée donne la distribution uniforme — racines égales, $\mathrm{CV} = 0$ ; les réalisations naturelles à trois points dépendent de la recette, aucune fixée à l'unité : terciles $\approx 0{,}81$, quantiles $\approx 0{,}76$, CV d'un échantillon de trois tirages $\approx 0{,}65$). Ce n'est pas une obstruction universelle. Une route qui impose la dispersion unité directement sur le triplet discret — l'équipartition singlet–doublet de la forme cyclique, où trois phases à $120^\circ$ héritent $\mathrm{CV} = A/\sqrt2$ exactement et indépendamment de la phase (la forme cyclique étant la DFT réelle exacte de tout triplet) — dissout le pont : le triplet discret a $\mathrm{CV} = 1 \iff A = \sqrt2$ directement. C'est ainsi que le porteur à trois phases l'adresse (spéculativement), relocalisant le verrou sur la condition d'amplitude $A = \sqrt2$.

Statut

Exact. L'identité $Q_\ell = (1 + \mathrm{CV}(r_\ell)^2)/3$ et l'équivalence $Q_\ell = 2/3 \iff \mathrm{CV}(r_\ell) = 1$.

Obstruction. L'échelle-cascade, prise par hypothèse comme forme normale épinglée, a $\mathrm{CV} \le 1/\sqrt2$, et le porteur de Yukawa construit sur elle donne $\mathrm{CV}(r_\ell) \in [0{,}09,\,0{,}37]$ ; la dispersion unité observée n'est atteinte par aucun mécanisme actuellement nommé de la cascade projective.

No-go (réalisation par déterminant). Une réalisation concrète de la voie discrète singulet–doublet est désormais exclue : aucune application d'amplitude réelle-linéaire, auto-adjointe dans la structure hermitienne positive héritée, ne peut faire du radicande de Koide $s^2 - d^2$ le carré d'un opérateur de déterminant sur un bloc projeté non nul — pour un vecteur doublet le carré requis serait négatif, contredisant la positivité du carré d'un opérateur auto-adjoint. Cela ferme la seule réalisation déterminant réel-linéaire auto-adjoint ; la voie d'équipartition discrète elle-même, et ses extensions non-linéaire, Krein ou tour élargie, restent ouvertes.

Ouvert. La voie entropie maximale, dont le point crucial est une contrainte de premier moment sur $\sqrt m$ et un pont discret-vers-continu forcé ; et, plus difficile encore, la hiérarchie concrète — le placement nodal fixé par la phase $\delta$ — où demeure le vrai résidu de la hiérarchie des leptons chargés.

Relation au programme Cosmochronie

Cette note appartient au sous-programme matière fermionique. Elle est en aval des notes ligne de Yukawa projetée et opérateur de Yukawa projeté, dont elle montre que l'échelle des niveaux sous-disperse, et elle oriente la lecture entropique vers l'entropie de projection de la projection non injective. La cible de masse qu'elle isole n'est pas fixée par la ligne de Yukawa projetée elle-même ; elle est consignée ici séparément comme la cible de Koide en dispersion unité.

Références

Jérôme Beau. The Charged-Lepton Koide Relation as a Unit-Dispersion Constraint. Document de travail, 2026. 10.5281/zenodo.21109812