Le jet contraint du bloc éliminé lorentzien et l'identité chirale du taux de défaut

Résultats principaux

• Jet contraint. Pour toute famille lisse de projecteurs auto-adjoints et tout transport unitaire lisse $U(s) = 1 + sA + \tfrac{s^2}{2}(A^2 + B) + O(s^3)$, les contraintes de projecteur imposent $Q_1 = [A, Q_0]$ avec $Q_0 Q_1 Q_0 = 0 = (1 - Q_0) Q_1 (1 - Q_0)$, et fixent les blocs diagonaux de $Q_2 = \tfrac12[B, Q_0] + \tfrac12[A,[A,Q_0]]$ à $Q_1^2$ avec des signes opposés.
• Parité sous équivariance. Une famille équivariante sous la parité antiunitaire, $J_\Pi Q(s) J_\Pi^{-1} = Q(-s)$, a des parités de jet alternées, et sa tangente impaire est le commutateur chiral $[A_-, Q_0]$. Avec un plongement mobile, l'annulation de la tangente impaire ne suffit pas à éteindre le splitting au premier ordre.
• Plongement mobile. Comme $P(s) = \Pi_S(s)^{*}\Pi_S(s)$, le jet du résidu porte les dérivées du plongement, $E_1 = -(G_1 Q_0 G_0^{*} + G_0 Q_1 G_0^{*} + G_0 Q_0 G_1^{*})$ avec $G = \Pi_S D$. Pour un opérateur de Dirac $J_\Pi$-pair et un plongement covariant, $E_0$ est pair, $E_1$ est impair, et la partie impaire du premier ordre de $E_\Pi^2$ est $\{E_0, E_1\}$. Figer le plongement donne un autre taux.
• Mélange. Un opérateur hermitien impair sous la parité antiunitaire a une entrée $(+,-)$ nulle sur le triplet de générations. Le coefficient de mélange du premier ordre s'annule donc dans toute famille covariante, avec ou sans phases complexes, et plus généralement tout coefficient d'ordre impair s'annule. Le mélange aux ordres pairs n'est pas exclu, et il est non nul au second ordre dans la famille explicite. Dans la forme normale $E_0 = -\mathrm{diag}(1, 2^{-1/2}, 2^{-1/2})$, le taux de splitting est $u'(0) = -\sqrt{2}\,(E_1)_{++}$.
• Théorème d'existence de Schur mobile. Une famille covariante explicite sur $\mathbb{C}^3 \oplus \mathbb{C}^3$ a $E_0^2 = \mathrm{diag}(1, \tfrac12, \tfrac12)$, $u'(0) = 11 \cdot 2^{1/4}/9 \neq 0$, et ni mélange ni fuite vers le singlet au premier ordre ; le modèle à plongement figé donne $79 \cdot 2^{1/4}/90$.
• Identité chirale du taux de défaut. Dans le repère chiral, $[\Pi_{J_\Pi\text{-impair}}(1 - P)]_{LL} = \tfrac12\Delta_\chi(P)$ et $[\Pi_{J_\Pi\text{-impair}}\dot Q(0)]_{LL} = \tfrac12\partial_s\Delta_\chi(P)|_0$. Cela détermine un bloc de la tangente impaire, non un générateur unique : $A$ n'est défini qu'au centralisateur de $Q_0$ près.

Le jet contraint

Pour chaque valeur du module $s$ ouvert par la complexification lorentzienne, le bloc éliminé $1 - P(s)$ est un projecteur auto-adjoint, transporté unitairement depuis son point de base. Le contenu ordre par ordre de $(1-P)^2 = 1-P$ fixe la tangente hors-diagonale et les blocs diagonaux du coefficient du second ordre pour toute famille lisse ; une orbite à générateur constant $U(s) = \exp(sA)$ n'en est qu'un cas particulier. L'alternance des parités du jet ne découle pas de ces contraintes : elle vaut lorsque la famille est équivariante sous la parité antiunitaire. Pour une famille covariante, le point de base fini est pair, donc $u(0) = 0$ : le splitting est une donnée lorentzienne, pas une donnée de fibre finie.

L'identité chirale du taux de défaut

Dans la décomposition chirale $\mathcal{S}_\Pi = \mathcal{S}_L \oplus \mathcal{S}_R$, la parité de Born–Infeld échange les chiralités par l'entrelaceur $\tau$. Dans un repère chiral où elle agit comme $J_\Pi = \Sigma_\tau \circ \mathrm{conj}$, la partie $J_\Pi$-impaire du bloc éliminé a un bloc $LL$ égal à la moitié du défaut d'équivariance transporté $\Delta_\chi(P) = \pi_{LL} - \tau\,\overline{\pi_{RR}}\,\tau^{-1}$ de la réduction de Schur, et la tangente du premier ordre porte $\tfrac12\partial_s\Delta_\chi(P)|_0$ dans ce bloc.

L'identité a trois limites. Elle détermine un bloc de la tangente impaire, non le générateur, qui n'est défini qu'au centralisateur de $Q_0$ près. Le bloc $LL$ ne restitue pas toute la tangente impaire, aucune localisation injective sur $\partial_s\Delta_\chi(P)|_0$ n'est donc revendiquée. Enfin, le passage de la tangente à $u'(0)$ passe par le transport, le plongement mobile et la projection sur le triplet de générations.

Statut et questions ouvertes

Établi. Le jet contraint pour toute famille lisse ; la graduation de parité sous équivariance ; la propagation au résidu avec plongement mobile ; l'annulation de tout coefficient d'ordre impair du mélange des générations dans les familles covariantes ; le théorème d'existence de Schur mobile ; et l'identité chirale du taux de défaut. Les identités sont vérifiées sur des instances exactes, la réalisation et les contre-exemples exactement ; les énoncés généraux reposent sur les preuves de la note.

Ouvert. La sélection, par le programme, d'une famille covariante parmi celles qu'admet le contrat de Schur ; l'unicité du porteur du splitting et la localisation injective de la tangente impaire sur son bloc $LL$ ; la normalisation de $\partial_s\Delta_\chi(P)|_0$, donc la magnitude $|u|$, qui reste liée au dictionnaire ; et le mélange des générations aux ordres pairs.

Relation au programme Cosmochronie

Cette note appartient au sous-programme matière fermionique. Elle prend en charge le premier livrable ouvert de la réduction de Schur du résidu projectif, le bloc éliminé lorentzien explicite $1 - P(s)$, et relie sa tangente impaire au défaut d'équivariance transporté de cette réduction. Le signe de genre électrique $\mu_\chi^2 < 0$ de la note sur la marge de saturation de Born–Infeld oriente la lecture physique mais n'intervient pas dans les preuves. La valeur absolue $|u|$, le secteur de Yukawa et le spectre de masse restent des questions en aval, liées au dictionnaire.

Références

Jérôme Beau. The Constrained Jet of the Lorentzian Eliminated Block and the Chiral Defect-Rate Identity: A Moving-Schur Existence Theorem for the Generation Split. Document de travail, 2026. 10.5281/zenodo.20763532